Теорема Абеля

1) Если степенной ряд вида (4.1), т.е. по степеням , сходится при значении (отличном от нуля), то он сходится, и притом абсолютно, при всех значениях таких, что .

2) Если степенной ряд вида (4.1) расходится при значении , то он расходится при всех значениях таких, что .

Из теоремы Абеля вытекает следующая теорема.

Теорема. Областью сходимости степенного ряда вида (4.2), т.е. ряда по степеням , является интервал с центром в точке и с концами в точках и .

Число получило название радиуса сходимости, а интервал – интервала сходимости степенного ряда. На концах интервала сходимости, т.е. при и вопрос о сходимости или расходимости данного ряда решается индивидуально для каждого конкретного ряда.

У некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку (при ), у других охватывает всю числовую ось (при ).

Для начала укажем способ определения интервала сходимости степенного ряда на примере ряда (4.1).

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов этого ряда:

(4.3)

Т.к. при каждом конкретном ряд (4.3) является числовым знакоположительным рядом, то для выяснения вопроса о его сходимости можно воспользоваться признаком Даламбера:

Допустим, что существует

.

Тогда, по признаку Даламбера ряд сходится, если (т.е. при ), и расходится, если (т.е. при ).

Следовательно, ряд (4.1) сходится абсолютно при и расходится при , и интервалом сходимости является интервал , а радиусом сходимости является число .

При признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости, поэтому необходимо, подставляя значения в ряд (4.1), исследовать получающиеся числовые ряды в каждом конкретном случае.

Замечание. Интервал сходимости можно найти, используя радикальный признак Коши (также применяя его к ряду (4.3)):

.

Дата добавления: 2015-07-18