Необходимый признак сходимости рядов

Необходимым признаком сходимости рядов является следующая теорема.

Теорема. Если ряд сходится, то предел его общего члена при равен нулю, т.е. .

Однако на практике в таком виде применять теорему для исследования ряда невозможно, т.к. мы не знаем, сходится ли наш ряд. Поэтому для практического применения необходимый признак сходимости сформулируем в следующем виде:

Следствие. Если предел общего члена ряда при не равен нулю, то ряд расходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Т.к. , то ряд расходится (по необходимому признаку сходимости).

Очень важно помнить, что из того, что , не следует ни сходимость, ни расходимость ряда. Говорят, что если , то необходимый признак не работает.

Замечание. Смысл или польза этого признака: если общий член ряда стремится к нулю, то ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся, а если , то это заведомо расходящийся ряд. Этот признак является необходимым, но не достаточным.

В качестве примера рассмотрим ряд

, (2.1)

называемый гармоническим.

Необходимый признак сходимости для этого ряда не работает, т.к. . Докажем, что ряд расходится.

Перепишем ряд (2.1) в виде:

(2.2)

Напишем вспомогательный ряд:

(2.3)

Ряд (2.3) строится так, что каждый его член меньше либо равен соответствующему члену ряда (2.2).

Обозначим через сумму первых членов ряда (2.2), и через частичную сумму ряда (2.3).

Т.к. каждый член ряда (2.2) больше либо равен соответствующему ему члену ряда (2.3), то

. (2.4)

Вычислим несколько частичных сумм ряда (2.3) для значений , равных :

………………………………………………………….

следовательно, , а тогда в силу (2.4) , и ряд (2.1) расходится.

Далее рассмотрим достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.

Дата добавления: 2015-07-18