Примеры. Исследовать на сходимость следующие ряды:

Исследовать на сходимость следующие ряды:

1)

Решение. Т.к. члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают: , и вообще, , а общий член ряда при стремится к нулю, то в силу признака Лейбница ряд сходится.

2) .

Решение. Проверим условие (3.2): . Доказать это неравенство достаточно сложно. Поэтому применим следующий прием: докажем, что функция монотонно убывает на некотором интервале вида с помощью вычисления производной и исследования функции (это уже было сделано в §2, раздел IV, пример 2). В нашем случае при , и функция монотонно убывает в данном промежутке. Следовательно, неравенства (3.2) выполняются для любых , начиная с трех.

Проверим условие (3.3). Для этого необходимо вычислить . Используя правило Лопиталя, получим . Следовательно, и .

Т.о., оба условия теоремы Лейбница выполняются, и, следовательно, данный ряд сходится.

Определение. Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные.

Очевидно, знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременных.

Предполагаем теперь, что в записи

(3.4)

имеются как положительные, так и отрицательные .

Теорема. (Модульный признак сходимости знакопеременных рядов).

Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного знакопеременного ряда (3.4):

(3.5)

сходится, то сходится и данный ряд.

Отметим, что если ряд (3.5) расходится, то отсюда не следует, что ряд (3.4) будет также расходящимся. Например, ряд сходится по признаку Лейбница, а ряд из абсолютных величин его членов (гармонический ряд) расходится.

В связи с этим можно ввести понятие абсолютной и условной сходимости:

Определение. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов .

Определение. Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если ряд, составленный из абсолютных величин , расходится, а сам ряд сходится.

Например, ряд является условно сходящимся (см. пример 1). А ряд является абсолютно сходящимся, т.к. ряд, составленный из абсолютных величин , сходится (обобщенный гармонический при ).

Грубо говоря, различие между абсолютно и условно сходящимися рядами заключается в следующем: абсолютно сходящиеся ряды сходятся в основном в силу того, что их члены быстро убывают, а условно сходящиеся – в результате того, что положительные и отрицательные слагаемые частично уничтожают друг друга.

Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов существенно различаются: абсолютно сходящиеся ряды по своим свойствам напоминают конечные суммы: их можно складывать, перемножать, переставлять местами члены ряда. Условно сходящиеся ряды такими свойствами не обладают. Возьмем, например, условно сходящийся ряд . Переставим члены ряда местами и сгруппируем их следующим образом:

Перепишем ряд в виде (произведя первое действие в каждой скобке):

Видим, что от перестановки членов ряда сумма его уменьшилась в 2 раза.

Можно показать (теорема Римана), что от перестановки членов условно сходящегося ряда можно получить ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд.

Дата добавления: 2015-07-18