Свойства сходящихся рядов. Учебно-методическое пособие

Ряды

Учебно-методическое пособие

Москва 2013

УДК 51

ББК 22.1

Рецензент – доктор физ.-мат.наук, профессор Карташов Э.М.

Л.М. Ожерелкова, А.Г. Рубин, И.А. Джемесюк

Ряды. Учебно-методическое пособие. М.: ИПЦ МИТХТ, 44 с.

Утверждено библиотечно-издательской комиссией

в качестве учебно-методического пособия

для студентов 2–4-го курсов дневного отделения

всех специальностей МИТХТ им. М.В.Ломоносова

по дисциплине «Высшая математика», поз. /2013.

МИТХТ им. М.В.Ломоносова, 2013

Основные понятия

Определение. Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел , соединенных знаком сложения:

. (1.1)

Числа называются членами ряда, а член – общим или n -м членом ряда.

Ряд (1.1) считается заданным, если известен его общий член , (), т.е. задана функция натурального аргумента. Например, ряд с общим членом имеет вид:

Образуем новую последовательность:

………………..

Определение. Сумма первых членов ряда называется n -ой частичной суммой ряда и обозначается .

Определение. Если последовательность частичных сумм ряда имеет предел, то такой ряд называется сходящимся, а этот предел называется суммой ряда.

То есть, если , то ряд сходится, а – сумма ряда. В этом смысле можно записать .

Если конечного предела последовательности частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся. У расходящегося ряда суммы нет.

Пример 1. Исследовать на сходимость геометрический ряд, т.е. ряд, составленный из последовательных членов геометрической прогрессии:

(1.2)

Решение. Необходимо установить, при каких значениях знаменателя прогрессии ряд (1.2) сходится, а при каких – расходится. Из школьного курса алгебры известно, что сумма первых членов геометрической прогрессии, т.е. n -я частичная сумма ряда при равна .

Возможно несколько случаев:

1) если , то

и , т.е. ряд сходится и его сумма .

2) если , то и, следовательно, , и ряд расходится.

3) если , то ряд (1.2) примет вид , его и , ряд расходится.

4) если , то ряд (1.2) примет вид , и его при четном и при нечетном, следовательно, не существует, и ряд расходится.

Т.о. геометрический ряд сходится к сумме при и расходится при .

Пример 2. Найти сумму ряда:

Решение. -я частичная сумма ряда:

Учитывая, что

, , ,..., ,

частичную сумму ряда можно представить в виде

и тогда получаем: , т.е. сумма ряда .

Свойства сходящихся рядов

Свойство 1. Если ряд сходится и имеет сумму , то и ряд , полученный умножением данного ряда на число , также сходится, и имеет сумму .

Свойство 2. Если ряды и сходятся и их суммы соответственно равны и , то и ряды также сходятся и их суммы равны соответственно и .

Свойство 3. Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из данного путем отбрасывания (или добавления) конечного числа членов.

Установить сходимость (расходимость) ряда путем нахождения частичной суммы и вычисления , как это сделано в примерах 1 и 2, возможно лишь в редчайших случаях из-за принципиальных трудностей при нахождении (суммировании первых членов ряда). Обычно сходимость (расходимость) ряда устанавливается с помощью специальных теорем – признаков сходимости.

В большинстве признаков сходимости вам придется вычислять некоторый предел. Напомним кратко два основных приема вычисления пределов, которыми вы будете пользоваться чаще всего.

А) Предел отношения двух степенных выражений на бесконечности равен:

0, если степень числителя меньше степени знаменателя;

, если степень числителя больше степени знаменателя;

отношению старших коэффициентов, если степень числителя равна степени знаменателя *.

Б) Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых величин (б.м.) или двух бесконечно больших величин (б.б.) равен пределу отношения их производных. Например, по правилу Лопиталя имеем:

Дата добавления: 2015-07-18