Занятия 3-4. Тема: Теорема Чевы и ее следствия. Применение теоремы Чевы и теоремы Менелая к задачам на доказательство.

Цели: рассмотреть теорему Чевы, утверждение которой также связано с отрезками в треугольнике, некоторые следствия из нее; показать, как теоремы Чевы и Менелая применяются в задачах на доказательство.

Формулировка теоремы Чевы включает два взаимно обратных утверждения. Их можно рассмотреть как независимые теоремы.

Теорема (Чевы). Пусть точки A ,B , C лежат соответственно на сторонах BC,AC и AB треугольника ABC, причем отрезки AA , BB ,CC пересекаются в одной точке.

Тогда . . =1

Доказательство теоремы проводится одним из способов, предложенных в главе I на с.6.

Исследование остальных случаев расположения точек - по усмотрению учителя, но в любом случае целесообразно сформулировать теорему Чевы и для случая внешней точки пересечения AA , BB ,CC и для случая параллельных прямых, а также рассмотреть обратное утверждение.

Теорема (Чевы, обратная). Пусть точки A ,B , C лежат соответственно на сторонах BC,AC и AB треугольника ABC, причем . . =1. Тогда отрезки AA , BB ,CC пересекаются в одной точке. (Остальные случаи разъяснить).

Задача.

На сторонах треугольника ABC взяты соответственно точки C , A ,B ,так, что AC : С B= 2:1, BA :A C=1:3,

BB CC AA =O. Найти CB : B A.

Решение:

Так как отрезки BB , CC , AA пересекаются в одной точке O, то по теореме Чевы . . =1; =1; =

Ответ: 3:2

Далее рассматриваются некоторые следствия из теоремы Чевы.

Следствие1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Доказательство. В учебной литературе доказательство этого утверждения проводится на основе подобных треугольников. Мы же проведем его, опираясь на теоремы Чевы и Менелая. Итак, пусть AA , BB ,CC - медианы ABC (рис.20). Так как AC =C B, BA =A C, AB =B C, то =1, = 1, = 1. Тогда . . , т.е. для точек A ,B ,C , лежащих на сторонах треугольника ABC, выполняется условие (); по теореме Чевы AA , BB ,CC пересекутся в одной точке O (случай внутренней точки).

Рассмотрим B BC, точки A,O,A лежат на одной прямой, пересекающей стороны BB ,BC и продолжение стороны B C (в дальнейшем будем называть ее секущей). A B C, O BB , A BC.

По теореме Менелая , = .

Применяя теорему Менелая для A AC и секущей BB (B A C, O AA , B AC), получим, что = ; применяя теорему Менелая для С BC и секущей AA , получим, что . Утверждение доказано.

Следствие 2. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство. Справедливость этого утверждения можно доказать, используя свойство биссектрисы:

так как AA - биссектриса, то = ; так как BB - биссектриса, то ;

так как СС - биссектриса, то . Перемножая соответственно левые и правые части этих равенств, получим . . = . . = 1, то есть для точек A , B , C выполняется равенство Чевы, значит, AA , BB ,CC пересекаются в одной точке.

Примечание 7: если учащимся известна теорема Чевы в форме синусов, то провести доказательство этого следствия можно следующим образом. Пусть AA ,BB ,CC - биссектрисы ABC (рис.21) Так как , то = 1; аналогично, =1; =1.

Перемножая эти равенства, получим условие ( ) теоремы Чевы в форме синусов. Значит, AA , BB ,CC пересекаются в одной точке.

Следствие3. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке (ортоцентре треугольника).

Доказательство: пусть AA , BB ,CC - высоты ABC.

1) Если ABC остроугольный (рис. 22), то точки A , B , C лежат на его сторонах. ACC -прямоугольный, AC = AC cosA;

BCC - прямоугольный, BC = BC cosB; BA A – прямоугольный, BA = AB cosB;

AA C- прямоугольный, A C=AC cosC; CB =CB cosC; AB = AB cosA.

Тогда . . = = 1. А так как условие () выполняется, то AA , BB , CC пересекаются в одной точке.

Примечание 8: следствие 3 можно доказать, исходя из подобия треугольников. Можно предложить учащимся провести доказательство этим способом самостоятельно. (Действительно, AA C~ BB C по I признаку ; аналогично, из подобия CC B и AA B следует, что . И, наконец,

BB A ~ CC A . Перемножая эти равенства, получим

. Отсюда по теореме Чевы следует, что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке.[4, с.96])

2) Пусть ABC – тупоугольный (рис.23). Это случай внешней точки O. Из ACC AC =ACcosA; из С BC C B=CB cos (180 - B)= -CB cosB (угол B тупой);

из A BA BA =AB cos(180 - B)=-AB cosB; аналогично,

AB =AB cosA; B C= BC cosC; A C= AC cosC; CB =CBcosC.

.

Так как условие Чевы выполняется, то AA , BB , CC пересекаются в одной точке или параллельны (глава1). Но если бы они были параллельны, то и перпендикулярные к ним прямые, то есть стороны треугольника ABC, были бы параллельны друг другу, но это не так. Значит, прямые AA ,BB ,CC пересекаются в одной точке.

3) Если ABC прямоугольный, С=90 (рис.24), то очевидно, что высоты BC,AC,CC пересекаются в точке С. Следствие 3 доказано.

Следствие4. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство. Рассмотрим серединный MNK(вершины-середины сторон ABC)(рис.25). Тогда NK,NM,MK – средние линии треугольника ABC и по свойству средней линии NK AC, NM BC, KM AB. Поэтому серединные перпендикуляры к сторонам треугольника ABC содержат высоты MNK. А в MNK по следствию 3 высоты пересекаются в одной точке, следовательно, серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке.

Таким образом, теорема Чевы дает возможность весьма просто доказать известные утверждения о четырех замечательных точках треугольника.

Рассмотрим еще одно следствие из теоремы Чевы.

Следствие 5. Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками, в которых вписанная окружность касается противоположных сторон, пересекаются в одной точке. Эта точка называется точкой Жергонна (рис.26).

Доказательство. По свойству отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, имеем AB =AC =x, C B=BA =y, A C=B C=z.

, по теореме Чевы AA , BB , CC пересекаются в одной точке.

Дополнительные задачи:

1. Используя теорему Чевы, доказать, что в произвольном треугольнике прямые, проходящие через вершины и делящие периметр треугольника пополам, пересекаются в одной точке. [4, с.94]

Доказательство: Пусть каждый из отрезков AA , BB ,CC делит периметр треугольника ABC пополам (рис.27), то есть AB+BA =A C+AC(1), B C+BC=AB +AB(2), AC + СA=

=C B+BC (3)

Сложим (1), (2), (3): AB +BA +B C+ BC +AC + CA = A C+ AC + AB + AB + C B+ BC; BA +B C+AC =A C+AB +C B. Перенесем слагаемые в левую часть и сгруппируем:

(BA - AB ) + (B C - C B) + (AC - A C)=0 (4). Вычитая из (1) равенство (2), получаем:

(AB+BA )- (AB +AB) = (A C+AC)-(B C+BC) или BA - AB = (AC- B C)-(BC- A C)=AB - BA = -(BA - AB ), откуда 2(BA - AB )= 0, BA = AB .

Аналогично доказывается, что CB = С B, C A = A C.

Тогда . . .

По теореме Чевы AA , BB ,CC пересекаются в одной точке.

2. На стороне AC треугольника ABC взяты точки P и E, на стороне BC – точки M и K, причем AP: PE: EC= CK: KM: MB. Отрезки AM и BP пересекаются в точке O, отрезки AK и BE – в точке T. Докажите, что точки O, T и С лежат на одной прямой. [4, с.94]

Дано:

ABC; AP: PE: EC= CK: KM: MB =m:n:k

M, K BC, P, E AC; AM BP= O;

AK BE= T

Доказать: O, T, C a

Доказательство. Пусть луч CT AB=C , CO AB=C . Докажем, что точки C и C совпадают, это и будет означать, что O, T, C лежат на одной прямой.

Так как CT AB=C , BE AK CC = T, то по теореме Чевы ;

(1)

Так как CO AB=C , AM BP= O, то СС BP AM=O, по теореме Чевы (2)

Из (1) и (2) следует, что , то есть точки С и C делят отрезок AB в одном и том же отношении, начиная от точки A, а значит, С и C совпадают. А это означает, что точки O, T, C лежат на одной прямой.

3. Прямая пересекает стороны AB,BC и продолжение стороны AC треугольника ABC соответственно в точках D,E,F.Доказать, что середины сторон отрезков DC, AE и BF лежат на одной прямой.(Теорема Гаусса.) Указание: воспользоваться теоремой Менелая, в качестве вершин данного треугольника взять середины сторон треугольника ABC, на сторонах и продолжениях которого лежат рассматриваемые точки.

4. Треугольники ABC и A B C с попарно непараллельными сторонами расположены так, что прямые AA и A BB пересекаются в одной точке O. Доказать, что точки M,K,P пересечения прямых AB и A B , BC и B C , AC и A C соответственно лежат на одной прямой. (Теорема Дезарга.) Указание: воспользоваться теоремой Менелая.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Доказать, что середины оснований трапеции, точка пересечения ее диагоналей и точка пересечения продолжений ее боковых сторон лежат на одной прямой. Указание: дважды используя теорему Менелая, доказать, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции и через точку пересечения продолжений боковых сторон, проходит через середины оснований.

2. Доказать, что: а) биссектрисы внешних углов треугольника пересекают продолжения противоположных сторон треугольника в трех точках, расположенных на одной прямой; б) касательные к описанной около треугольника окружности в вершинах треугольника пересекают его противоположные стороны в трех точках, расположенных на одной прямой. Указание: воспользоваться теоремой Менелая.

3. На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC взяты точки C ,A и B соответственно. Пусть C - точка пересечения прямых AB и A B , A - точка пересечения прямых BC и B C , B - точка пересечения прямых AC и A C . Доказать, что если прямые AA , BB , CC пересекаются в одной точке, то точки A , B , C лежат на одной прямой. Указание: записав равенство Чевы для точек A ,B ,C ; A ,B , C ; A , B , C ; A , B ,C ,получить, что для точек A , B , C выполняется равенство Чевы; далее доказать, что или все три точки A , B , C лежат на продолжениях сторон треугольника(так будет, если A ,B ,C лежат на сторонах треугольника), или лишь одна находится на продолжении (если на сторонах треугольника одна из точек A ,B ,C ) и воспользоваться теоремой Менелая.

4. Пусть ABCD – четырехугольник, P- точка пересечения BC и AD, Q – точка пересечения AC и BD, R – точка пересечения AB и CD. Доказать, что точки пересечения BC и QR, CA и RP, AB и PQ лежат на одной прямой. Указание: применить теорему Менелая к треугольникам ABD,BDC и DCA.

5. Окружность пересекает сторону AB треугольника ABC в точках C и C , сторонуBС – в точках A и A , сторону CA- в точках B и B . Доказать, что если прямые AA ,BB и CC пересекаются в одной точке, то и прямые AA , BB и CC также пересекаются в одной точке. Указание: воспользоваться теоремой Чевы.

Занятия 5-6. Тема: Решение задач на пропорциональное деление отрезков в треугольнике.

Цели: овладение навыком решения задач с использованием теорем Менелая и Чевы; повышение уровня математической культуры учащихся, развитие их познавательных способностей.

Прежде всего надо отметить, что усвоение каждой темы школьного курса математики и развитие учащихся на том или ином уровне обеспечивается определенной системой упражнений и задач. [7,с.203] Выполнение математических упражнений является важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой школьниками усваивается математическая теория, развиваются их творческие способности и самостоятельность мышления.[15,с.3] Умение решать задачи самостоятельно, без посторонней помощи формируется автоматически, непроизвольно лишь у небольшой части учащихся. Для большинства же требуется специальная работа учителя в этом направлении. У школьников необходимо формировать умение решать и стандартные, и нестандартные задачи.

Наработать навыки решения стандартных задач на применение теорем Чевы и Менелая, а также организовать контроль за их выполнением поможет следующая таблица.

Отнош. № зад.	а)	б)	в)	г)	д)	е)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

Если три отрезка, соединяющие вершины A,B,C треугольника соответственно с точками A ,B ,C лежащими на его сторонах, противоположных этим вершинам, пересекаются в точке O, то по любым двум из шести отношений длин отрезков, на которые точки A ,B ,C делят стороны треугольника, а точка O- отрезки AA ,BB ,CC , однозначно определяются оставшиеся отношения(с помощью теорем Менелая и Чевы).

Две задачи из таблицы можно разобрать на занятии, остальные дать домой (используя таблицу, можно составить несколько вариантов заданий).

Далее можно организовать работу в группах.

Задача.

В ABC на сторонах AB, BC,AC взяты точки C , A ,B соответственно. Отрезки BB ,AA , CC пересекаются в точке O. CB : B A=p, CA : A B=q.

Найти: .

Ученики делятся на 4 группы по количеству отношений, которые необходимо найти.

После того как задача окажется решена каждой группой, идет выступление представителей.

Решение: 1) Рассмотрим ; O AA , B A C, B AC, O,B,B лежат на одной прямой (рис.29).

По теореме Менелая ; .

2) Рассмотрим ; O BB , A BC, A CB ;O, A , A лежат на одной прямой.

По теореме Менелая ; .

3) Рассмотрим , по теореме Чевы ; ; .

По теореме Менелая для СС A и секущей BB ; ; .

4) Рассмотрим , по теореме Чевы ; ; .

Чтобы включить знания учащихся в систему, важно среди задач по теме иметь комплексные задачи, то есть задачи, при решении которых используются знания, полученные при изучении не только данной, но и предыдущих тем, а также при изучении других разделов математики. Поэтому полезными окажутся задачи 1-5.

Задача 1.. В треугольнике ABC, описанном около окружности, AB = 8, BC = 5, AC = 4. Точки A ,В и C - точки касания, принадлежащие соответственно сторонам BC,AC и BA. Точка P - точка пересечения отрезков AA и CC .

Найдите AP: PA .

Решение: так как отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон, пересекаются в одной точке, то P BB . Пусть C B=x, тогда, используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения (рис. 30)

8 - x + 5 - x = 4, x = . Значит,C B = BA= ; A C = 5 – = , AC = 8 – = .

В треугольнике ABA прямая C C пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая

, , = .

Ответ: 70: 9.

Задача 2. Стороны треугольника 5, 6 и 7. Найдите отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник.

Решение: пусть в треугольнике ABC AB = 5, BC = 7, AC = 6. Угол BAC лежит против большей стороны в треугольнике ABC, значит, угол BAC – больший угол треугольника. Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении биссектрис. Пусть O -точка пересечения биссектрис. Необходимо найти AO:OD. Так как AD – биссектриса треугольника ABC, то = , то есть BD = 5k, DC = 6k. Так как BF – биссектриса треугольника ABC, то = , то есть AF = 5m, FC = 7m.

Прямая BF пересекает две стороны и продолжение третьей треугольника ADC.

По теореме Менелая

Дата добавления: 2015-07-15