Читайте также:
|
|
Стереометрия – это геометрия в пространстве. В основном задачи по стереометрии сводятся к геометрическим задачам на плоскости, поскольку обычно требуемые элементы можно найти, сведя исходную задачу к нескольким планиметрическим.
Задачи эти довольно-таки трудны, здесь главное опыт. А знание теоремы Менелая – это просто находка для решения стереометрических задач.
Она может оказаться очень полезной при изучении темы «Объемы тел» в курсе геометрии 11 класса.
Ниже приведем несколько задач, предлагавшихся на вступительных экзаменах в вузы.
Владение методами их решения дает большое преимущество перед школьниками, которые не умеют решать такого рода задачи.
Задача 1. На продолжении ребра АС правильной треугольной пирамиды ABCD с вершиной D взята точка K так, что КА:КС=3:4, а на ребре DC взята точка L так, что DL:LC=2:1. В каком отношении делит объем пирамиды плоскость, проходящая через точки B, L и К?
Дано:DABC – правильная пирамида, ,
,
,
, BLK –
плоскость, - объем верхней части пирамиды,
- объем нижней части пирамиды.
Найти: .
Решение:
1) Построим сечение пирамиды DABC плоскостью BLK.
соединяем,
соединяем,
,
соединяем,
MLB - искомое сечение (рис.48).
2) Найдем , где
- объем всей пирамиды.
Пусть BH – высота пирамиды DABC, проведеннаяиз вершины В, но она – высота и BMDL.
; V =
, V
=
;
;
,
-?
3) Из ADC:
,
,
,
.
По теореме Менелая ,
.
,
,
.
(или: во всем объеме пирамиды 33 части, в верхней – 16, значит, 33-16=17 – частей
составляет . Тогда
) Ответ:
.
Задача 2. Дана правильная четырехугольная пирамида с вершиной
. На продолжении ребра
взята точка
так, что
. Через точки М, В и середину ребра
проведена плоскость. В каком отношении она делит объем пирамиды?
Решение:
1) Построим сечение плоскостью
.
(по условию).
а) , соединяем
BL;
б) , соединяем
LM;
в) , соединяем
BM,
;
, соединяем
г) четырехугольник BLEK – искомое сечение.
2) Обозначим объемы нижней части пирамиды, верхней части и всей пирамиды
,
и
соответственно, сторону основания –
.
(
MBC - прямоугольный)
;
MKD~
MBC по двум углам
;
3)
~
по двум углам
.
4) Рассмотрим MLC и секущую
.
.
По теореме Менелая ;
Значит ;
.
5) .
6) SCH ~
по двум углам
.
Пусть , тогда
,
.
.
7)
, т.е. V содержит 60 частей,
на
приходится 31 часть.
Ответ: 29:31
Задача 3. Дана правильная треугольная призма с боковыми ребрами ,
и
. Причем на продолжении ребра
взята точка
так, что
. Через точки
,
и середину ребра
проведена плоскость. В каком отношении она делит объем призмы?
Решение:
1) Построение сечения:
а) , соединяем
MB
,
.
б) , соединяем
,
.
в) , соединяем
.
г) четырехугольник - искомое сечение.
2) Пусть ,
,
- объемы нижней части, верхней части и всей призмы,
- высота призмы,
- сторона основания.
;
MLA ~
;
Рассмотрим ABC,
- секущая,
.
По теореме Менелая .
,
,
;
,
,
,
.
,
- части приходится на
.
.
Ответ: 13:23
Задачи для самостоятельного решения:
1. Дана правильная четырехугольная пирамида с вершиной
. На продолжении ребра
взята точка
так, что
. Через точку
и середины ребер
и
проведена плоскость. В каком отношении она делит объем пирамиды?
2. Высота правильной призмы равна стороне ее основания. Точки
и
- середины ребер
и
соответственно. Найти площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки
,
и
, если сторона основания равна
.
3. В тетраэдре ZABC проведено сечение плоскостью. Точки M,N,P,Q принадлежат плоскости и ребрам ZA,AB,BC,CZ соответственно, причем ZM= MA, AN=
NB, BP=
PC, CQ=
QZ. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?
4. Объем тетраэдра ZABC равен 7. Через середины ребер ZA и CB проведена плоскость, пересекающая ребро ZC в точке Q, а ребро AB – в точке L. При этом
ZQ:QC=2:5, AL:LB=2:5. Найдите площадь сечения тетраэдра указанной плоскостью, если расстояние до нее от вершины A равно 1.
Использовать приведенные задачи можно и на уроках заключительного повторения в 11 классе, причем здесь необходима целенаправленная работа по систематизации и углублению знаний учащихся. В работе можно использовать задания, приведенные в п.2.1, в приложении 2. Особое внимание нужно уделить планиметрическим задачам, так как они составляют основную массу задач вступительных экзаменов в вузы. Наличие заданий различной трудности позволит вести дифференцированную работу с учащимися.
Заключение
Крылатую фразу Козьмы Пруткова «Никто не обнимет необъятного» в полной мере можно отнести и к геометрии треугольника. В самом деле, треугольник, как кладезь прекрасных и поразительных геометрических конструкций, поистине неисчерпаем. Их пестрота и изобилие, с трудом поддающиеся какой – либо систематизации, не могут не восхищать[10, с.3].
Многие удивительные соотношения и изящные геометрические факты вошли
в основной курс планиметрии, некоторые замечательные теоремы включены в программу профильных классов.
Данная работа посвящена двум таким теоремам – теореме Менелая и теореме Чевы, которые позволяют решать многие, казалось бы, сложные математические задачи просто, красиво и понятно. Кроме того, здесь поднимается огромный пласт основных фактов и понятий школьного курса планиметрии: подобие треугольников; свойства и признаки параллельных прямых; метрические соотношения в треугольнике; окружность, описанная около треугольника и вписанная в него. Предложенный материал дает учащимся возможность познакомиться с интересными, нестандартными вопросами геометрии, с еще одним методом решения геометрических задач.
Рассматриваемые в работе вопросы выходят за рамки обязательного содержания. Вместе с тем, они тесно примыкают к основному курсу. Поэтому их изучение способствует совершенствованию и развитию важнейших математических знаний и умений, предусмотренных школьной программой, помогает оценить свои возможности по математике и более осознанно выбрать профиль дальнейшего обучения (9 класс), подготовиться к вступительным экзаменам (11 класс).
Предлагаемые в работе задачи интересны и часто не просты в решении, что позволяет повысить учебную мотивацию школьников. Эти задачи рассчитаны в первую очередь на учащихся, интересующихся математикой, желающих иметь хорошие навыки в решении геометрических задач. Вместе с тем, их содержание позволяет ученику любого уровня активно включиться в учебно - познавательный процесс и максимально проявить себя: занятия могут проводиться на высоком уровне сложности, но включать вопросы, доступные и интересные всем учащимся.
Думается, что представленный в работе материал будет полезен коллегам и может стать основой соответствующего теме элективного курса по выбору в системе предпрофильной подготовки по математике.
Литература.
1. Авдонин Н.И., Авдонина Е.П., Зорин В.А., Казимирова В.М.,
Новоженов М.М. Математика - 2000: Предварительное тестирование.-
Нижний Новгород, ННГУ, 2000- 237с.
2. Авдонин Н.И., Авдонина Е.П., Алексеев А.А., Калинин А.В.,
Новоженов М.М. Математика: Предварительное тестирование. – Нижний
Новгород: ННГУ, 2005.- 132с.
3. Алексеев В. Бородин П. и др. Планиметрия. Материалы вступительных
экзаменов в МГУ / Математика. Еженедельное приложение к газете «Первое
сентября», 2000,-№8.-с.18-22
4. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С. Б., Шестаков С.А., Юдина И.И.
Геометрия. Доп. главы к учебнику 8 кл.: Учеб. пособие для учащихся школ и
классов с углубл. изуч. математики / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов,
С.Б.Кадомцев и др.-М.: Вита-пресс, 2004. - 208 с.
5. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И.
Геометрия: Учебник для 7-9 классов средней школы / Л.С. Атанасян,
В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 1990. – 336с.
6. Иванов К.А. О пропорциональных отрезках в треугольнике / Математика в
школе, 2004. - №8. – с.20-25
7. Иванова Т.А., Перевощикова Е.Н., Григорьева Т.П., Кузнецова Л.И.
Теоретические основы обучения математике в средней школе: Учебное
пособие/Т.А Иванова, Е.Н. Перевощикова, Т.П. Григорьева, Л.И.Кузнецова;
под ред. проф. Т.А.Ивановой. – Н.Новгород: НГПУ, 2003. - 320с.
8. Качалкина Е. Применение теорем Чевы и Менелая/Математика. Издательский
дом «Первое сентября», 2004, - №13. – с.23-26
9. Качалкина Е. Применение теорем Чевы и Менелая / Математика.
Издательский дом «Первое сентября», 2004,- №14. – с.24-27
10. Мякишев А.Г. Элементы геометрии треугольника. – Библиотека
«Математическое просвещение» - М.: Издательство Московского центра
непрерывного математического образования, 2002. – 32с.
11. Олимпиада Таланты Земли Нижегородской – Математика –
http://www.unn.ru/olimp/olimp/archiv/tzn 2004
12. Пантелеев В.П. Пропорциональные отрезки и то, что за ними/ Математика в
школе, 2004,- №8. – с.25-31
13. Портал естественных наук. Дополнительные соотношения между
элементами в треугольнике. – http://e-science.ru/math/theory
14. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Часть 1.- М.: Наука. Гл. ред. физ. –
мат. лит., 1991. – 320с.
15. Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. – М.: Просвещение,
2005. – 254с.
16. Стандарт среднего (полного) общего образования по математике /
Математика в школе, 2004, - №4. – с.12-16
17. Тихов М.С., Алексеев А.А., Макеев Н.Г. Математика: 2006.
Предварительное тестирование. – Н.Новгород: ННГУ, 2006. – 67с.
18. Тихов М.С., Алексеев А.А. Математика:2006. Летнее тестирование. –
Нижний Новгород: Издательство Нижегородского университета, 2006. – 72с.
19. Ткачук В.В. Математика – абитуриенту. – М: МЦНМО, 2005. – 944с.
20. Фарков А.В. Учимся решать олимпиадные задачи. Геометрия. 5-11 классы/
А.В. Фарков. – М: Айрис-пресс, 2006. – 128с.
21. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: Интенсивный курс подготовки к
экзамену. – М: Айрис-пресс,Рольф, 2001. – 416с.
22. Шарыгин И.Ф. Геометрия 7-9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб.завед.- М:
Дрофа, 2000. – 368с.
23. Шарыгин И.Ф. Планиметрия, 9-11 кл.: От учебной задачи к творческой:
Пособие для учащихся. – М: Дрофа, 2001. – 400с.
24. Шестаков С.А. Сборник задач для подготовки и проведения письменного
экзамена по алгебре за курс основной школы: 9-й кл. / С.А.Шестаков,
И.Р.Высоцкий, Л.И.Звавич; под ред. С.А.Шестакова.–М: АСТ:Астрель,2006.–
255с.
Дата добавления: 2015-07-15; просмотров: 517 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Слайд 6. | | | Разные задачи. |