Слайд 6.

AM = ;

В каком отношении отрезок BM делит отрезок AK?

Решение: пусть . Рассмотрим AKC и секущую BM.

По теореме Менелая

Ответ: 2.

Рассмотрим еще одну теорему, связанную с пропорциональными отрезками в треугольнике – теорему Чевы.

Далее дается формулировка и доказательство теоремы для случая внутренней точки (см. главу 1). Решается задача со слайда 7.

Найти .

Решение: по теореме Чевы для ABC имеем

Ответ: =3:2.

III. Рефлексивно – оценочная часть.

Подводятся итоги урока, повторяются утверждения теорем, в листе с задачами по теме отмечаются задачи для домашней работы.

1. В треугольнике ABC на сторонах AB и BC взяты точки K и M; CK AM=O. Обозначим AK: KB= k, BM: MC= m, CO: OK= p, AO:OM= l. Пусть из четырех чисел k,m,p и l известны два. Найти два оставшихся числа, если

а) k=2, m= ; в) k=3, p= 2; д) m= , l= ;

б) k= , m= ; г) k=2, l=3; е) p=2, l=1.

Ответы: а) p= , l= ; б) p=5, l=1; в) m= , l=5; г) m= , p=3; д) k= , p=15; е) k= , m=2.

5. На сторонах AC и BC ABC расположены соответственно точки N и M так, что AN:NC=k, BM:MC=m, прямые AM и CM пересекаются в точке O. Найти отношения

AO:OM, BO:ON. Ответ:

Урок 2. Тема «Применение теорем Менелая и Чевы в решении ключевых задач».

Цели урока: формировать умения:

-видеть конфигурации, удовлетворяющие заданным условиям;

-решать задачи нестандартными способами;

-осуществлять поиск решения комплексных задач синтетическим методом;

-использовать теоремы в задачах на доказательство;

-развивать самостоятельность.

Ход урока.

I. Мотивационно – ориентировочная часть.

1. Актуализация знаний.

В начале урока повторяются формулировки изученных теорем. В качестве устного упражнения можно предложить выполнить следующее задание:

На следующих рисунках указать треугольник, секущую и точки ее пересечения с каждой стороной треугольника или продолжением:

Далее класс делится на 4 группы, решается задача 1.

В ABC на сторонах AB, BC,AC взяты точки C , A ,B соответственно. Отрезки BB ,AA , CC пересекаются в точке O. CB : B A=p, CA : A B=q.

Найти: .

Каждая группа находит одно из указанных отношений, далее идет проверка результатов.

Учитель выборочно оценивает работы учеников.

2. Мотивация. Постановка учебной задачи.

Мы рассмотрели задачи на прямое применение теорем Менелая и Чевы.

На этом уроке мы научимся применять эти утверждения к задачам, в которых первоначально не указано отношение отрезков и рассмотрим утверждения, обратные теоремам Менелая и Чевы.

II. Содержательная часть.

Рассмотрим следующие задачи.

Задача2. В каком отношении делит сторону BC треугольника ABC прямая, проходящая через точку A и середину медианы, выходящей из B?

Задача 3.

Дано:

ABC; AE - биссектриса,

BD - медиана; AB=2, AC=3;

Найти BF: FD

Ввиду того, что задачи эти были решены выше, здесь их решение опускаем.

Далее ставится вопрос о справедливости обратных утверждений. Записываются формулировки теорем, обратных теоремам Менелая и Чевы. Используя их, предложить доказать известное утверждение: Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

III. Рефлексивно – оценочная часть.

1. Подведение итогов.

Итогом может служить небольшая проверочная работа, организовать которую поможет таблица (с.24). Два отношения в каждой задаче учитель задает учащимся, остальные они находят самостоятельно.

2. Домашнее задание.

1) Используя теоремы Чевы и Менелая, доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

2) Доказать, что высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

3)Стороны треугольника 5, 6 и 7. Найдите отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник.

Примечание: в зависимости от уровня подготовленности класса и при наличии времени учитель может провести урок-практикум решения задач, включив комбинированные задачи (см.п.2.1), которые будут также полезны учащимся, так как они способствуют обобщению методов, приемов решения задач темы.

Также в 10 классе при изучении темы «Задачи на построение сечений» в параграфе «Тетраэдр и параллелепипед» можно использовать задачи типа

В тетраэдре ABCD на ребрах AB, BD, DC взяты точки K,M,P соответственно так, что Через точки K,M и P проходит плоскость, пересекающая прямые AD,BC и CA в точках E,F и G. Найти Какие из точек E, F и G расположены на ребрах тетраэдра?

Дата добавления: 2015-07-15