Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Занятия 9-10. Тема: Комбинированные задачи.

Читайте также:
  1. I этап работы проводится как часть занятия
  2. II.I. Познавательные занятия.
  3. IX. Подведение итогов занятия.
  4. V. Подведение итогов занятия.
  5. VI Практические занятия
  6. VI. Подведение итогов занятия и оценка ответов детей.
  7. VI. Подведение итогов занятия.

 

Эти занятия посвящены более сложным задачам, которые встречаются на олимпиадах разных уровней. Так как большая часть олимпиадных задач затрагивает небольшое число разделов математики, то школьникам, стремящимся к успеху, полезно знать темы этих разделов и видеть, что многие новые задачи часто не более чем малоузнаваемые вариации прежних.

 

Задача 1. На стороне NP квадрата MNPQ взята точка A, а на стороне PQ – точка B так, что NA:AP = PB:BQ = 2:3. Точка L является точкой пересечения отрезков MA и NB. В каком отношении точка L делит отрезок MA?

Решение: проведем прямую AB, пусть она пересекает прямую MQ в точке F и пусть прямая NB пересекает прямую MQ в точке D (рис.41).

APB ~ FQB, тогда , откуда QF= .

 

NPB ~ DQB, тогда , откуда QD = .

 

FD = QD – QF= .

Из треугольника APB (прямоугольного) по теореме Пифагора AB = k.

Из треугольника QBF (прямоугольного) по теореме Пифагора BF = . Из треугольника AFM по теореме Менелая

 

, , , .

Ответ: 25: 4.

 

Задача 2. Дан параллелограмм ABCD. Точка M делит отрезок AD в отношении p, а точка N делит отрезок DC в отношении q. Прямые BM и AN пересекаются в точке S. Вычислите отношение AS:SN.

Решение: если MD= b, то AM= pb; если NC = a, то DN = aq.

Пусть B - точка пересечения прямых BM и CD.

MB D ~ BB C, тогда ;

;

1+p = ; x = .

Прямая BB пересекает две стороны и продолжение третьей треугольника AND. По теореме Менелая

, , откуда .

Ответ: .

Задача 3. На сторонах AС и BC взяты точки М и L так, что AM:MC=4:1, CL:LB=3:1. Отрезки AL и BM пересекаются в точке Q. .

1) Найти ; 2) На АВ взяли точку N так, что CN – медиана; , . Найти .

Решение:

1) а) Рассмотрим , BM – секущая (рис.43),

по теореме Менелая ,

б) и имеют равные высоты . Так как ,

в) и имеют равные высоты

2) CN-медиана AN=NB. Найдем (рис. 44).

а) , ;

б) (имеют равные высоты),

; .

в) Рассмотрим ABM и секущую NC.

По теореме Менелая ,

, ,

,

.

Ответ: 11 кв.ед.

Задача 4. На стороне AB ABC взята точка D, а на стороне AC – точка Е так, что длина AE=BD=2. Прямые . Найти , если AB=BC=5, AC=6.

Решение: 1) , ,

2) Рассмотрим ABE, DC – секущая; D AB, O BE, C AE(рис.45).

По теореме Менелая , ; .

Значит, CO – медиана BCE, .

Из ABC по теореме косинусов

,

; .

Ответ: 4.

 

Примечание 9: если на момент решения задачи теорема косинусов учащимся еще не известна, задачу 4 следует отложить до изучения теоремы.

 

Задача 5. На сторонахАВ, ВС и САтреугольника АВС отмечены точки и соответственно так, что отрезки и пересекаются в одной точке Q, расположенной внутри треугольника АВС. Пусть Р – точка пересечения отрезков и . Доказать, что .

Доказательство. Эта задача может быть решена многими способами, мы разберем решение, использующее теоремы Менелая и Чевы, чрезвычайно полезные для решения задач такого типа.

Если , то утверждение задачи может быть доказано достаточно легко. Рассмотрим случай, когда прямые и пересекаются в точке

М (рис.46). По теореме Менелая для треугольников и имеем:

, , откуда ,

.

Складывая эти равенства, получаем (1)

По теореме Менелая для треугольников и имеем:

,

Учитывая, что , , и складывая уравнения, получаем:

. Из теоремы Чевы для треугольника АВС следует, что .

Поэтому (2)

Сравнивая (1) и (2), получаем требуемое.

Задача 6. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC через точку A проведена прямая, которая пересекает диагональ BD в точке E и боковую сторону CD в точке K, причем BE:ED=1:2, CK:KD=1:4. Найдите отношение длин оснований трапеции.

Решение. Пусть BC= a, AD= b. Необходимо найти . Пусть BC AK=Q (рис.47).

1) По теореме Менелая для BCD и секущей AQ имеем CQ= a, BC=CQ=a.

2) CKQ ~ DKA по двум углам, тогда Так как а = BC, b =AD, то

Ответ:


Дата добавления: 2015-07-15; просмотров: 303 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Введение. | Глава 1. Теоретические основы темы «Теорема Менелая и теорема Чевы ». | Теорема Чевы в форме синусов. | Глава 2. Методические рекомендации к изучению темы в | Слайд 6. | Применение теорем Менелая и Чевы в решении стереометрических задач. | Разные задачи. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Занятия 3-4. Тема: Теорема Чевы и ее следствия. Применение теоремы Чевы и теоремы Менелая к задачам на доказательство.| Изучение темы «Теорема Менелая и теорема Чевы» в курсе геометрии 10 класса.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.011 сек.)