Разложение функций в ряд Тейлора.

Всякая функция, бесконечно дифференцируемая в интервале , может быть разложена в этом интервале в сходящийся к ней степенной ряд Тейлора:

если в этом интервале выполняется условие

,

где – остаток ряда Тейлора, .

При получается ряд Маклорена:

.

При решении многих задач рекомендуется пользоваться следующими разложениями в ряд Маклорена элементарных функций:

,

,

,

,

,

,

,

при из предыдущего разложения получаем бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем :

.

Пример.

Разложить в ряд по степеням х функцию .

Решение.

Найдем значения функции и ее производных при :

Следовательно,

Это разложение можно получить иначе. Достаточно в разложении заменить х на , так как .

Пример.

Разложить в ряд по степеням функцию .

Решение.

Воспользуемся равенством

.

Правую часть этого равенства можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем . Отсюда получаем

,

т.е.

Так как , то - область сходимости ряда.

Дата добавления: 2015-07-18