Степенные ряды. Степенным называется ряд вида

Степенным называется ряд вида

, (8)

где с_n – действительные числа, называемые коэффициентами ряда.

Теорема Абеля. Если степенной ряд (8) сходится при , то он сходится (и притом абсолютно) при всяком значении х, удовлетворяющем неравенству .

Одним из следствий теоремы Абеля является факт существования для всякого степенного ряда интервала сходимости , или с центром в точке а, внутри которого степенной ряд абсолютно сходится и вне которого он расходится. На концах интервала сходимости (в точках ) различные степенные ряды ведут себя по-разному. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда. Если , то ряд (8) сходится лишь при ; если же , то ряд (8) сходится на всей числовой оси.

Для нахождения радиуса сходимости можно применять либо признак Даламбера, либо признак Коши, т.е.

или

.

Тогда

или .

Пример.

Найти область сходимости ряда .

Решение.

Применяем признак Даламбера

.

Ряд сходится, когда полученный предел меньше единицы, т.е. . При ряд расходится. Радиус сходимости ; интервал сходимости . Исследуем поведение ряда на концах промежутка . При получаем знакочередующийся ряд . Этот ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница, поэтому он сходится. При получаем ряд . Полученный ряд расходится, так как каждый его член больше соответствующего члена гармонического ряда .

Следовательно, областью сходимости данного ряда является промежуток .

Дата добавления: 2015-07-18