Признаки сходимости рядов с положительными членами.

Первый признак сравнения рядов. Пусть даны два ряда

(3)

и

, (4)

причем каждый член ряда (3) не превосходит соответствующего члена ряда (4), т.е. . Тогда если сходится ряд (4), то сходится и ряд (3); если расходится ряд (3), то расходится и ряд (4).

Второй признак сравнения. Если существует конечный и отличный от нуля предел , то оба ряда (3) и (4) сходятся или расходятся одновременно.

Признак Коши. Если для ряда (3) существует

,

то этот ряд сходится при и расходится при .

Признак Даламбера. Если для ряда (3) существует

,

то этот ряд сходится при и расходится при .

Интегральный признак. Если при – непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция, то ряд (3), где сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом

.

3. Признак сходимости знакопеременного ряда.

Рассмотрим ряд, члены которого имеют чередующиеся знаки

, (5)

где .

Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд (5) сходится, если выполняются два условия:

1)

2) .

Ряд, содержащий как положительные, так и отрицательные члены, называется знакопеременным. Знакопеременный ряд

(6)

сходится абсолютно, если сходится ряд из модулей членов этого ряда, т.е. сходится ряд

. (7)

Если ряд (6) сходится, а ряд (7) расходится, то ряд (6) сходится условно.

Очевидно, что ряд (6) сходится, если сходится ряд (7). Ряд (7) является рядом с положительными членами, поэтому для исследования вопроса о его сходимости можно применять ранее рассмотренные признаки.

Пример.

Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

Сравним данный ряд с геометрическим рядом . Так как

,

то по первому признаку сравнения из сходимости геометрического ряда (сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии ) следует сходимость данного ряда.

Пример.

Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

Сравним данный ряд с гармоническим рядом. Поскольку

,

то по второму признаку сравнения из расходимости гармонического ряда следует расходимость данного ряда.

Пример.

Исследовать на сходимость ряд Дирихле .

Решение.

Если , то общий член ряда не стремится к нулю, т.е. необходимый признак сходимости не выполняется, и ряд расходится. В случае применим интегральный признак Коши. Функция положительна и не возрастает при . Рассмотрим интеграл

.

Поскольку несобственный интеграл сходится при и расходится при , то аналогично ведет себя и ряд Дирихле. Если , то

.

Несобственный интеграл расходится, поэтому расходится и ряд Дирихле.

Итак, ряд Дирихле сходится при и расходится при .

Пример.

Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

Рассмотрим предел отношения последующего члена к предыдущему

.

Так как , то по признаку Даламбера ряд сходится.

Пример.

Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

Рассмотрим предел

.

Так как , то по признаку Коши ряд сходится.

Пример.

Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

Так как и , то выполнены условия признака Лейбница, и данный ряд сходится. Ряд из абсолютных величин членов, т.е. ряд расходится (гармонический ряд). Следовательно, исходный ряд сходится условно.

Дата добавления: 2015-07-18