Числовые ряды.

Глава XII

Ряды

Числовые ряды.

Выражение

, (1)

где – заданная числовая действительная или комплексная последовательность, называется числовым рядом.

Сумму первых n членов числового ряда обозначают через S_n и называют n -ой частичной суммой ряда (1):

(2)

Если существует конечный предел последовательности частичных сумм (2) , то ряд (1) называется сходящимся, а число S – суммой ряда (1). В противном случае ряд называется расходящимся.

Критерий Коши. Для того, чтобы ряд (1) был сходящимся необходимо и достаточно, чтобы и выполнялось неравенство

.

Необходимый признак сходимости. Если ряд (1) сходится, то

.

Пример.

Доказать, что гармонический ряд

расходится, хотя необходимый признак сходимости выполняется.

Решение.

Рассмотрим разность частичных сумм с номерами 2 n и n:

.

Заменяя каждое слагаемое меньшей величиной 1/2 n, получаем

.

Получили, что при для гармонического ряда не выполняется критерий Коши и, следовательно, ряд расходится.

Пример.

Показать, что ряд расходится.

Решение.

Рассмотрим предел n -ого члена

Этот предел не существует (при четных n он равен 1, при нечетных -1), значит, необходимый признак сходимости не выполняется и ряд расходится.

Дата добавления: 2015-07-18