Применение степенных рядов к приближенным вычислениям

. e^x=e^z Пример 15. Вычислим . Полагая в разложении для функции e^x значение x = , получим:

Если отбросить все члены, начиная с шестого, то погрешность вычисления будет меньше . Отсюда » 1,646.

Пример 16. Вычислить . Полагая в разложении для значение x = =0,17(4), получим

Если отбросить все члены, начиная с третьего, то погрешность будет по абсолютной величине меньше , тогда . Как видно из полученного результата, значение для малых углов сравнимо со значением угла (» x).

б) Используя разложения функций в степенные ряды, можно вычислять определенные интегралы, которые не выражаются через элементарные функции.

Пример 17. Вычислить интеграл .

Разложим подынтегральную функцию в ряд, заменяя в разложении (28) x на - x ²:

Интегрируя обе части равенства, получим

=

При a = 1 погрешность вычисления интеграла, если отбросить все члены ряда, начиная с четвертого, составит по абсолютной величине .

в) Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов используется тогда, когда непосредственное интегрирование дифференциального уравнения невозможно. В таких случаях прибегают к приближенному методу - представлению решения уравнения в виде суммы конечного числа членов ряда Тейлора или Маклорена. Разберем сказанное на примере.

Пример 18. Найти решение уравнения , удовлетворяющего начальному условию y (0) = 0.

Найдем значение первой производной при x = 0: . Продифференцируем исходное уравнение:

.

Найдем значение второй производной при x = 0: . Этот процесс можно продолжить. Подставляя значения производных в ряд (26¢), получим

Увеличивая число слагаемых можно получить приближение для y (x) с любой степенью точности.

Дата добавления: 2015-07-18