Знакопеременные ряды

Знакопеременными называются ряды, члены которых поочередно имеют то положительный, то отрицательный знаки.

Знакопеременный ряд удобнее записывать так, чтобы знаки членов были выявлены (при этом считаем все u_n > 0):

u₁ - u₂ + u₃ - u₄ + …+ (-1)^n-1 u_n + ¼ (9)

По отношению к подобным рядам Лейбниц доказал следующую простую теорему.

Теорема Лейбница. Если члены знакопеременного ряда (9) монотонно убывают по абсолютной величине, т.е. u_{n +1} < u_n (n = 1,2,3,¼), и , то ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Частичную сумму четного порядка можно записать в виде

S_2m = (u₁- u₂) + (u₃ - u₄) + …+ (u_2m-1 - u_2m).

Из условия теоремы следует, что выражения в каждой скобке положительны. Следовательно, частичная сумма четного порядка S_2m > 0 и возрастает с возрастанием m. С другой стороны, если записать эту же сумму так:

S_2m = u ₁ - (u ₂ - u ₃) - (u ₄- u ₅) - …- (u _{2 m- 2} - u _{2 m -1}) - u _{2 m} ,

то каждая из скобок оказывается положительной, т.е. S_2m < u ₁, а значит,

Частичная сумма нечетного порядка S_{2m+ 1} = S_2m + u _{2 m +1}. По условию теоремы , а, согласно доказанному, , тогда . Теорема доказана.

Пример 9. Установить сходимость ряда

В этом ряде 1 > > > ¼, . Согласно теореме Лейбница, ряд сходится.

Замечание. Погрешность | S-S_n | ряда (9) не превосходит модуля первого отброшенного слагаемого, т.е. | S-S_n | £ | u_{n +1}|. Так, в примере 9, погрешность приближения | S-S_n | £ .

Рассмотрим знакопеременный ряд (9) и ряд, составленный из модулей его членов

|u₁| + |u₂| + |u₃| + ¼ + |u_n |+ ¼ (10)

Если ряд (10) сходится, то и данный знакопеременный ряд (9) также сходится (по свойству 3).

Рассмотренный в примере 9 ряд сходится условно, т.к., согласно доказанному в примере 8, соответствующий гармонический ряд расходится.

Дата добавления: 2015-07-18