Знакопеременные ряды. Ряд, содержащий как положительные, так и отрицательные члены

Ряд, содержащий как положительные, так и отрицательные члены, называется знакопеременным.

Знакопеременный ряд

(В)

сходится, если сходится ряд, составленный из модулей его членов, т.е. ряд

(Г)

Примечание – обратное неверно. Например:

Ряд (В) в этом случае называется абсолютно сходящимся. Сумма абсолютно сходящегося ряда не зависит от порядка слагаемых.

Ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки, называется знакочередующимся.

Теорема 9 (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд

сходится, если выполнены условия

Доказательство:

Частичная сумма с четным номером

Возрастает, т.к. состоит из положительных слагаемых. Ее можно представить в виде

Также можно записать

т.к. . Следовательно, .

Нечетная сумма . Очевидно, что

Теорема доказана.

Рассмотрим знакочередующийся ряд:

.

Члены этого ряда монотонно убывают , общий член ряда стремится к нулю . Следовательно, этот ряд сходится по признаку Лейбница.

Представим знакочередующийся ряд в виде:

где - частичная сумма, - остаток ряда.

Остаток ряда представим в виде:

Вывод: погрешность при вычислении суммы знакочередующегося ряда не превосходит первого отброшенного члена.

Таким образом, сравнивая два ряда

,

можно сделать следующие выводы.

1. Если ряды (1) и (2) сходятся, то ряд (1) – абсолютно сходящийся.

2. Если ряд (2) расходится, а ряд (1) сходится, то ряд (1) называется условно сходящимся.

3. Если и ряды (1) и (2) расходятся, то ряд (1) – расходящийся ряд.

Свойство №1:

Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся при любой перестановке его членов и сумма при этом не меняется.

Свойство №2:

Если ряд сходится условно, то при перестановке его членов сумма его может стать равной любому числу, а также можно сделать его расходящимся.

Пример.

Ряд расходится или нет? Является ли он абсолютно сходящимся или нет?

Рассмотрим ряд, составленный из модулей его членов

.

Согласно признаку Д’Аламбера, найдем предел

.

Отсюда следует, что ряд из модулей расходится, значит, нет и абсолютной сходимости.

Пример. Исследовать ряд .

Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов исследуемого ряда

и сравним его с гармоническим, расходящимся рядом , для чего используем признак Д’Аламбера

Отсюда вытекает, что абсолютной сходимости исходного ряда нет.

Для выяснения вопроса сходится ли ряд условно, рассмотрим необходимое условие сходимости, т.е. проверим условие

Преобразуем его:

,

Откуда

Или

что эквивалентно , что выполняется. Следовательно, элементы последовательности убывают. Проверим теперь второе условие – стремится ли к нулю член последовательности

- .

Итак, исходный ряд сходится условно.

Дата добавления: 2015-07-18