Функциональные ряды.

Пусть дан функциональный ряд

т.е. ряд, члены которого некоторые функции от . При каждом фиксированном значении функциональный ряд становится числовым рядом

Если этот ряд сходится, то значение аргумента называется точкой сходимости ряда. Множество всех точек сходимости функционального ряда называется его областью сходимости, а функция

- суммой данного ряда. Функция

называется остатком ряда.

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся в некотором промежутке, если, каково бы не было , существует такое , не зависящее от , что при для всех из данного промежутка выполняется неравенство

где остаток ряда.

Теорема 9 (признак Вейерштрасса). Функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно в некотором промежутке, если существует сходящийся числовой ряд с положительными членами

такой, что

для всех из данного промежутка.

Ряд называется мажорантным рядом для ряда .

Пример. Ряд

геометрическая прогрессия, ее сумма . При ряд сходится, при - ряд расходится. Область сходимости .

Пример. Исследовать ряд

.

Рассмотрим ряд, составленный из модулей его членов . Так как , рассмотрим мажорантный ряд в виде: . Для члена имеем . Мажоранта сходится, следовательно, исходный ряд сходится абсолютно.

Теорема 10. Если члены ряда (1) непрерывны при и ряд этот сходится равномерно в замкнутом промежутке , то его можно интегрировать почленно в данном промежутке

(Интеграл от суммы равен сумме интегралов).

Пусть ряд (1) мажорируем на , тогда его можно почленно интегрировать на любом вложенном в .

Доказательство. Пусть числовой ряд (2) - мажорант, . Ряды представим в виде

Рассмотрим ряд . Его частичную сумму можно представить как

Требуется доказать, что

Имеем

Далее

Таким образом

Теорема 11. Если члены сходящегося ряда непрерывны при и ряд сходится равномерно в замкнутом промежутке , то ряд можно дифференцировать почленно

.

Доказательство: По условию теоремы ряд сходится. Обозначим пока его сумму как , т.е. . Согласно предыдущей теореме, этот ряд можно почленно интегрировать.

Что и т.д.

6. Степенные ряды.

Степенным называется функциональный ряд вида

где - постоянные числа, называемые коэффициентами ряда. При ряд принимает вид

Теорема 12 (признак Абеля). Если степенной ряд сходится при , то он сходится абсолютно и равномерно при любом , для которого .

Доказательство: Если ряд сходится, то , т.е. . Возьмем , обозначим . Рассмотрим теперь ряд , представив его в виде:

Ряд сходится, т.к. это геометрическая прогрессия с , следовательно, ряд сходится абсолютно.

Теорема доказана.

Замечание. Степенной ряд можно сколько угодно раз почленно дифференцировать и интегрировать. Интервал сходимости от этого не изменится.

Радиусом сходимости степенного ряда называется число такое, что при ряд сходится, а при расходится. Интервал в этом случае называется интервалом сходимости указанного ряда. На концах промежутка ряд может сходиться или расходиться.

Степенной ряд сходится абсолютно и равномерно на любом отрезке, принадлежащем интервалу сходимости.

Радиус сходимости степенного ряда находится с помощью признака Д’Аламбера или признака Коши. Радиус сходимости можно вычислить по одной из формул

если соответствующий предел существует.

Действительно, исследуем абсолютную сходимость степенного ряда , для чего рассмотрим предел.

Если то ряд сходится абсолютно, если же то ряд расходится. Величину и называют радиусом сходимости ряда.

Пример. Исследовать ряд:

Радиус сходимости ряда . Интервал сходимости или , откуда , следовательно - интервал сходимости.

7. Ряд Тейлора.

Если функция разлагается в степенной ряд

в некоторой окрестности точки , т.е. в интервале , то коэффициенты этого ряда определяются по формулам

Следовательно, разложение функции в ряд будет иметь вид:

Ряд, стоящий в правой части формулы называется рядом Тейлора для функции .

Это равенство выполняется, (ряд Тейлора сходится к в интервале ), если остаток ряда Тейлора

стремится к нулю при неограниченном возрастании , т.е. при всех из интервала .

Если , то ряд Тейлора переходит в ряд Маклорена:

Разложение основных функций в ряд Тейлора.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Примечание. Радиус сходимости ряда (7) будет равен:

При ряд будет иметь вид: .

При дробь будет иметь разложение

.

Дата добавления: 2015-07-18