Тригонометрический ряд

Рядом Фурье функции называется тригонометрический ряд

(1)

Найдем выражения для коэффициентов ряда Фурье.

Для этого введем определения.

Функция называется четной, если справедливо соотношение

Функция называется нечетной, если справедливо соотношение

Функция называется периодической, если справедливо соотношение

1. Найдем теперь выражение для коэффициента ряда Фурье.

Для этого возьмем определенный интеграл от левой и правой частей тригонометрического ряда (1) в пределах от до :

Согласно введенным определениям , т.к. синус функция нечетная. Действительно

Аналогично, . Действительно, хотя функция косинус является четной, но период этой функции равен , поэтому

Далее, осталось последнее слагаемое: .

Отсюда получаем . И окончательно получим:

2. Найдем теперь выражение для коэффициентов ряда Фурье.

Для этого, умножим левую и правую части тригонометрического ряда (1) на . В результате получим:

Проинтегрируем получившийся ряд в пределах от до .

При этом, как мы только что показали, учтем то обстоятельство, что в первом слагаемом будет интеграл вида: . Следовательно, первое слагаемое в правой части будет равно нулю.

Затем учтем, что в третьем слагаемом будет интеграл вида: , т.к. согласно известной формуле тригонометрии

.

Следовательно, под интегралом у нас будут нечетные функции, интеграл от которых в симметричных пределах равен нулю. Таким образом, и третье слагаемое в правой части будет равно нулю.

Следующее, второе слагаемое будет иметь вид:

т.к. под интегралом произведение двух четных функций.

т.к. и интеграл от суммы равен сумме интегралов.

В результате получим, что исходный интеграл равен:

Поэтому справа все слагаемые будут равны нулю, за исключением слагаемого, для которого и оно будет равно с .

Отсюда, для коэффициентов ряда (1) получим выражение:

3. Для нахождения коэффициента , умножив левую и правую части тригонометрического ряда на . В результате получим:

Опять же проинтегрируем получившийся ряд в пределах от до . При этом учтем то обстоятельство, что и, следовательно, первое слагаемое равно нулю. Второе слагаемое также равно нулю, т.к. .

Осталось третье слагаемое. Для его нахождения необходимо найти интеграл: . Его представим в виде:

т.к. произведение двух нечетных функций под знаком интеграла дает четную функцию.

т.к. ,

Отсюда

4. Окончательно запишем:

Теорема 13. Пусть – ограниченная, кусочно-непрерывная – периодическая функция, следовательно, можно представить рядом Фурье:

Если функция с периодом кусочно-дифференцируема в промежутке , то ее ряд Фурье сходится в любой точке и имеет сумму:

В частности, в точке непрерывности функции сумма ее ряда Фурье равна значению самой функции , т.к. . На концах промежутка имеем , , если функция непрерывна в точках и , если она разрывна в этих точках.

Кроме того.

Если функция – четная, то ее разложение в ряд Фурье имеет вид

Если функция – нечетная, то ее разложение имеет вид

Далее рассмотрим теперь функцию произвольного периода.

Пусть функция - периодическая, с периодом . В этом случае, для сведения ее к "классическому" ряду Фурье, введем переменную , где , а также функцию . Эта функция периодическая, с периодом . Действительно

Поэтому ее разложение в ряд Фурье будет иметь вид:

Обозначив , получим

Коэффициенты этого ряда будут находиться по аналогичным формулам

Частные случаи.

Функция - четная

Функция - нечетная

Пример.

Разложить в ряд Фурье функцию на интервале .

Функция нечетная, поэтому и .

Следовательно, разложение в ряд Фурье будет иметь вид

Интеграл Фурье.

f(x) – ограничена, кусочно-непрерывна, абсолютно интегрируется на (-∞, +∞), т.е. сходится

Это от предыдущего примера:

Дата добавления: 2015-07-18