Необходимый признак сходимости. Оглавление.

Ряды

Оглавление.

1. Основные понятия.

2. Необходимый признак сходимости.

3. Ряды с положительными членами.

4. Знакопеременные ряды.

5. Функциональные ряды.

6. Степенные ряды.

7. Ряд Тейлора.

8. Тригонометрический ряд (ряд Фурье).

Основные понятия

Рядом называется выражение вида

где последовательность чисел или функций. Слагаемые называются членами ряда. Если все члены ряда являются числами, то ряд называется числовым, если члены ряда - функции, то ряд называется функциональным.

Рассмотрим числовой ряд

Этот ряд задан, если известен его общий член , т.е. известно правило, по которому каждому номеру ставится в соответствие вполне определенный член ряда.

Сумма конечного числа первых членов ряда называется его частичной суммой:

Конечный или бесконечный предел частичной суммы при называется суммой ряда:

Ряд, имеющий конечную сумму, называется сходящимся. Если предел частичной суммы не существует или равен бесконечности, то ряд называется расходящимся.

Ряд, члены которого неотрицательны, называется положительным. Положительный ряд всегда имеет сумму; эта сумма будет конечной (и, следовательно, ряд – сходящийся), если его частичная сумма ограничена сверху, и бесконечной (а ряд – расходящийся), если суммы сверху неограниченны.

Если в ряде отбросить первые членов, то получится ряд

называемым остатком ряда после члена.

Необходимый признак сходимости

Теорема 1. Если ряд сходится, то сходится и любой из его остатков; обратно, из сходимости остатка вытекает сходимость исходного ряда.

Теорема 2. Если ряд сходится, то сумма его остатка после члена с возрастанием стремится к нулю: .

Теорема 3 (необходимый признак сходимости). Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е.

Отметим, что эти условия не является достаточными.

Следствие. Если общий член ряда к нулю не стремится, то ряд расходится.

Примеры рядов.

Геометрический ряд:

Геометрический ряд сходится тогда и только тогда, когда ; его сумма определяется формулой .

---

Дата добавления: 2015-07-18