Ряды с положительными членами.

Рассмотрим числовые ряды с положительными членами

(А)

(Б)

Теорема4 (первый признак сравнения). Если для всех ряд (Б) сходится, то сходится и ряд (А).

Если для всех ряд (Б) расходится, то расходится и ряд (А).

Теорема 5 (второй признак сравнения). Если существует конечный и отличный от нуля предел , то ряды (А) и (Б) сходятся и расходятся одновременно.

Теорема 6 (интегральный признак Коши). Если - неотрицательная, невозрастающая функция при , то ряд

сходится или расходится одновременно с интегралом

Пример. Исследовать, при каких сходится ряд Дирихле

Если то общий член ряда не стремится к нулю, поэтому ряд расходится. В случае применим интегральный признак Коши. Функция положительна и не возрастает при . Пусть . Положив . получим:

Поскольку интеграл сходится, то сходится и ряд Дирихле.

Если , то

Интеграл расходится, поэтому расходится и ряд Дирихле.

При получается гармонический ряд. Тем самым мы доказали указанную ранее расходимость гармонического ряда.

Итак, ряд Дирихле сходится при , и расходится при .

Замечание. Сходимость многих рядов может быть исследована сравнением с соответствующим рядом Дирихле.

Пример. Исследовать сходимость ряда .

Воспользуемся интегральным признаком Коши, для чего составим функцию . Функция убывает, если ее производная меньше нуля (отрицательна). Найдем производную согласно формуле :

Эта производная отрицательна, т. к. , следовательно, члены исследуемого ряда убывают с ростом .

Теперь непосредственно используем признак Коши.

Теорема 7 (признак Д’Аламбера). Пусть для ряда (А) существует

Если , то ряд (А) сходится, если то ряд расходится. Если , то вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Теорема 8 (" радикальный" признак Коши). Пусть для ряда (А) существует

Если , то ряд (А) сходится, если то ряд расходится.

Дата добавления: 2015-07-18