Если для ряда (1) с положительными членами

(6

а) l < 1 ряд сходится; б) l > 1 ряд расходится; в) l = 1 признак ответа не дает.

Д о к а з а т л ь с т в о проведём для l < 1 (cлучай l > 1 доказывается аналогично). Возьмём число q такое, что l < q <1, тогда начиная с некоторого номера выполнено неравенство | |< q-l, или < q, откуда u_n < qⁿ для всех . Отбросим первые N - 1 членов в ряде (1), тогда получим ряд

u_N +u_N+1+u_N+2 +… (7)

все члены которого меньше соответствующих членов ряда:

q^N+ q^N+1 + q^N+2 + … (8)

Этот ряд при q <1 − убывающая геометрическая прогрессия. Члены ряда (7), начиная с номера , меньше членов ряда (8). Из сходимости ряда (8) следует сходимость ряда (7).

2. Интегральный признак

Пусть члены ряда (1) положительны и не возрастают, т.е.

u ₁ ³ ³ u ₂ ³ u ₃ ³ ¼ и пусть f (x) − непрерывная и невозрастающая функция, что f (1) = u ₁, f (2) = u ₂, ¼, f (n) = u_n, ¼, тогда справедливы следующие утверждения.

1.Если несобственный интеграл сходится, то сходится и ряд (1). 2.Если указанный интеграл расходится, то расходится и ряд (1).

На координатной плоскости отметим по оси x значения x = 1,2,3,…, которые соответствуют n = 1,2,3,… восстановим перпендикуляр, длиной равной u_n. Соединим все точки плавной линией (см. рис.2)

Рис. 2

Сумма площадей прямоугольников, построенных таким образом, что основание равно 1, а высота u_n, начиная с n = 1

S_n= u ₁ + u ₂ + u₃+ …+ u_n >

На рис. 3 сумма площадей всех построенных прямоугольников равна сумме всех членов ряда, начиная со второго до (n +1)-го, т.е.

S_{n+ 1} - u ₁ <

Рис. 3

или

S_{n+ 1} < + u ₁.

Пусть сходится, т.е. < и S_n < S_{n+ 1} < < + u ₁. Это означает, что частичные суммы ограничены при всех n и Ряд сходится.

Пример 6. Установить сходимость ряда с общим членом u_n = = . Запишем (n +1)-ый член ряда

u_n+1 =

Дата добавления: 2015-07-18