Достаточные признаки сходимости

Признак сравнения рядов

Если члены ряда (1) неотрицательны и не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда

v₁+ v₂+ v₃+…+ v_n+…,

то ряд (1) также сходится.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Запишем частичные суммы рядов

= u₁+ u₂+ u₃+…+ u_n,

= v₁+ v₂+ v₃+…+ v_n,

где u₁ £ v₁, u₂ £ v₂, ¼ По условию тогда S_n £ S^* и по свойству 5 ряд (1) сходится.

Замечание. Согласно свойству 4, признак сравнения рядов остается в силе, если соответствующие неравенства между их членами выполнены, начиная с некоторого номера n ³ N.

Пример 5. Установить сходимость ряда

Отбросим первый член этого ряда и сравним его со сходящимся рядом (см. пример 4)

Так как

то на основании признака сравнения рядов исходный ряд сходится.

Достаточные признаки сходимости

Представленные далее достаточные признаки сходимости являются одними из многих признаков.

1. Признак Даламбера

Пусть все члены ряда (1) положительны и пусть при n →∞

(5)

Тогда, а) если l < 1, ряд сходится;

б) если l > 1, ряд расходится;

(в) при l = 1, признак ответа не дает.

Д о к а з а т л ь с т в о а) l <1. Выберем число q такое, что

l < q <1. Из определения предела < q- l, начиная с , тогда при . Откуда для n=N,N+1, N+2,… будем иметь:

u_N+1<qu_N,

u_N+2<qu_N+1<qu_N,

………………..,

т.е., если в ряде (1) отбросить первые N-1 членов, то получится ряд

u_N +u_N+1+u_N+2 +…

члены которого меньше соответствующих членов сходящегося геометрического ряда со знаменателем q <1:

u_N +u_Nq+ u_Nq²+…

На основании признака сравнения и свойства 4, ряд (1) также сходится. Случай б) доказывается аналогично. В случае в) ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Дата добавления: 2015-07-18