Ряду Тейлора.

Означення 2. 23. Говорять, що функція в деякій околиці точки розкладається в степеневийї ряд, якщо

. (2.22)

Теорема 2. 24. (про единність стапеневого ряду). Якщо функція в околі розкладається в степеневий ряд, то це розкладання єдине, тобто коефіцієнти в (1) визначені однозначно.

Доведення. Нехай має місце рівність (2.22). Тоді степеневий ряд (2.22) збігається на інтервалі , тобто цей інтервал вкладається в його інтервалі збіжності . Виходить, його на цьому інтервалі можна диференціювати скільки завгодно раз.

З (1) випливає, що .

Продиференціювавши рівність (1), одержимо:

Таким чином, .

Продиференціювавши рівність (2), одержимо:

Таким чином, . И. т.д.

Таким чином,

.

Тоді одержимо, що

Тобто, всі коефіцієнти степенневого ряду означені по функції однозначно.

Означення 2. 25. Відповідно до попередньої теореми, рівність (1) можна переписати у вигляді:

(2.23)

Ряд (2.23) називається рядом Тейлора в околиці точки . Якщо , то ряд Тейлора приймає вид і називається рядом Маклорена.

Зауваження. З виду ряду Тейлора ясно, що його можна побудувати для будь-якої функції , нескінченно диференційованій у точці . Однак не будь-який ряд Тейлора функції збігається до цієї функції в околиці точки .

Теорема 2. 26. (Тейлора). Якщо функція в деякій околі точки має похідні до n+1-ого порядку включно, то має місце рівність:

(2.24),

де знаходиться між й і не залежить від .

Доведення. Нехай виконуються умови теореми.

Візьмемо будь-яке й зафіксуємо його. Тоді на відрізку розглянемо функцію

З того, що має на інтервалі похідну до n+1-ого порядку включно, випливає, що функція на відрізку має похідну, при чому

.

Тобто

З (8) видно, що на кінцях відрізка функція приймає значення:

;

.

На цьому ж відрізку розглянемо нову функцію , що, очевидно, має похідну будь-якого порядку й на кінцях цього відрізка приймає значення:

; .

.

Обидві функції й на відрізку задовольняють всім умовам теореми Коші, виходить, справедлива формула Коші, відповідно до якої всередині відрізку знайдеться така точка , що . Тобто

. Звідки одержимо, що .

.

Зауваження.1. Формула (7) називається формулою Тейлора для функції . У випадку є відомою формулою Лагранжа: .

Зауваження.2. Останній доданок називається залишковим членом формули Тейлора у вигляді Лагранжа. Однак існують й інші види для залишкового члена . Все залежить від того, яку функцію ми розглянемо в доказі теореми.

Зауваження.3. Якщо в деякій околиці точці функція має похідні будь-якого порядку, то в цій околиці вона задовольняє умовам теореми Тейлора при кожному ., тобто має місце рівність:

.

Але перші n+1 членів формули в правої частини є частковою сумою n+1-ого порядку ряду Тейлора цієї функції, тобто .

Таким чином, щоб у будь-якій зазначеній точці ряд Тейлора функції збігався до , необхідно й достатньо, щоб остача прагнула до 0 при .

Останнє зауваження дозволяє одержати розкладання деяких елементарних функцій у ряд Тейлора.

Дата добавления: 2015-07-18