Поняття функціональної послідовності й ряду.

Функціональні ряди.

Означення 2. 1. Функціональною послідовністю називається послідовність , що складається з функцій , визначених на деякій множині X.

Наприклад, .

Означення 2. 2. Функціональним рядом називається ряд , членами якого є функції , визначені на деякій множині X.

Наприклад,

Помітимо, що при конкретному числовому значенні функціональна послідовність (функціональний ряд) перетворюється у звичайну числову послідовність (числовий ряд).

Означення 2. 3. Функціональна послідовність (функціональний ряд) називається збіжною (збіжним) у точці , якщо відповідна числова послідовність (числовий ряд) () є збіжною (збіжним).

Множина таких точок називається областю збіжності функціональної послідовності (функціонального ряду) і позначається .

Приклад 1. Знайти область збіжності функціонального ряду .

Рішення. Помітимо, що при кожному конкретному числовому значенні отриманий числовий ряд буде додатним, тому, застосувавши до нього ознака Коші, знайдемо

.

Отже, при , тобто при , функціональний ряд збігається за ознакою Коші.

При , тобто при , функціональний ряд розбігається за ознакою Коші.

При функціональний ряд перетворюється в числовий ряд , що розбігається, за необхідною ознакою збіжности ряду, тобто .

Означення 2. 4. Нехай областю збіжності функціонального ряду (функціональної послідовності) є множина . Тоді функціональний ряд (функціональна послідовність) збігається до деякого числа, що залежить від .

Це число називається сумою функціонального ряду (граничною функцією функціональної послідовності).

(

Помітимо, що сума збіжного функціонального ряду (гранична функція функціональної послідовності) визначена тільки на множині , і ці дві функції становлять інтерес із погляду їхнього зв'язку із властивостями членів ряду (функціональної послідовності). Тобто, чи є гранична функція (сума ряду) неперервною, диференційованою, інтегрувальною й т.д., якщо такими є члени ряду (послідовності).

Зауваження. Визначена в такий спосіб збіжність функціонального ряду (функціональної послідовності) називається поточковою збіжністю, тобто збіжністю в кожній точці множини . Існують й інші види збіжності, про які нижче.

З визначення суми ряду випливає, що . Тобто функціональний ряд і функціональна послідовність тісно пов'язані.

Те, що є граничною функцією функціональної послідовності на множині , відповідно до визначення границі, означає, що

(2.1)

Помітимо, що в умові (2.1) число , що залежить від , мабуть, залежить і від . У випадку, якщо існує , обране тільки по й не залежне від , яке гарантує істинність імплікації (2.1), то говорять, що послідовність збігається до своєї граничної функції рівномірно на множині , тобто

(2.3)

(2.3) – умова рівномірної збіжності послідовності на множині до граничної функції .

З того, що сума ряду є ганицею його часткових сум, випливає, що функціональний ряд називається рівномірно збіжним на множині до своєї суми , якщо на цій множині функціональна послідовність його часткових сум збігається до рівномірно.

Зауваження. Помітимо, що з рівномірної збіжності функціональної послідовності (функціонального ряду) на множині слідує збіжність цієї послідовності в кожній точці цієї множини (поточкова збіжність). Навпаки ж, загалом кажучи, не справедливо, тобто із поточкової збіжності не випливає рівномірна.

Визначення рівномірної збіжності приводиться на множині , що не є обов'язковим, тобто в якості може бути будь-яка множина . Тобто, рівномірна збіжність - це властивість послідовності й множини, а не тільки однієї послідовності.

З умови (2.2) рівномірно збіжної послідовності слідує, що

(2.3)

Очевидно й зворотне. Якщо виконується умова (2.3), то виконується й умова (2.2). Якщо позначити через

(2.4)

і назвати відстанню від функції до функції , то умова (4) означає, що

. (2.5)

Таким чином, рівномірна збіжність послідовності на множині рівносильна рівності (2.5).

Зауваження. Якщо функції й неперервні на множині , , то по теоремі Вейерштрасса - неперервна функція на цьому відрізку й досягає на ньому свого найбільшого значення. Тому в цьому випадку sup можна замінити на max в умові (2.4).

Означення 2. 5. Функціональний ряд на деякій множині X збігається до своєї суми рівномірно, якщо на цій множині послідовність його часткових сум збігається до функції рівномірно, тобто

(2.6 )

Оскільки , то рівномірна збіжність (2.6 ) для ряду означає, що його остача на множині X рівномірно прагне до 0, тобто

(2.7)

Дата добавления: 2015-07-18