Властивості рівномірно збіжних рядів.

Теорема 2. 8. (ознака Вейерштрасса). Нехай функціональний ряд заданий на деякій множині й на цій множині всі його члени задовольняють нерівності . Тоді якщо числовий ряд збігається, то на множині вихідний функціональний ряд збігається рівномірно й абсолютно.

Доведення. Нехай виконуються умови теореми. Тоді в кожній точці згідно з першою теоремою порівняння додатних рядів вихідний функціональний ряд збігається абсолютно.

Зі збіжності ряду й критерію такої збіжності, тобто умови (8) попереднього параграфу випливає, що .

Тепер з останньої нерівності й умови теореми одержимо, що .

Остання нерівність виконується . Перейдемо в останній нерівності до границі при . Тоді в силу збіжності одержимо, що .

Остання нерівність означає, що остача даного функціонального ряду рівномірно прагне до 0 на множині при . Тому вихідний функціональний ряд рівномірно збігається на множині .

Приклад 2. Довести, що функціональний ряд рівномірно збігається на всій числовій прямій.

Рішення. . З того, що ряд збіжний, слідує, за ознакою Вейерштрасса даний функціональний ряд рівномірно збігається на всій числовій прямій.

Теорема 2. 9. (про неперервність суми функціонального ряду). Нехай ряд складається з неперервних на множині функцій і на цій множині він збігається рівномірно. Тоді його сума також є неперервною функцією на множині .

Теорема 2. 10. (про неперервність граничної функції).

Нехай послідовність складається з неперервних на множині функцій і рівномірно на цій множині збігається до своєї граничної функції . Тоді неперервна на множині .

Доведення. Нехай виконуються умови теореми. Тоді в силу рівномірної збіжності

(2.8)

Візьмемо довільну точку й покажемо, що функція в цій точці неперервна.

Нехай - яке-небудь фіксоване натуральне число. Тоді з умови (1) випливає, що

. (2.9)

З того, що функція неперервна за умовою в точці , слідує, що

(2.10)

Для зазначенної функції і для будь-яких , таких, що тепер одержимо, використовуючи (2.8), (2.9) і (2.10), що

.

Отже, ми встановили, що . Це й означає неперервність функції в точці . З того, що - довільна точка множини , випливає, що функція неперервна на .

Означення 2. 11. Говорять, що на відрізку ряд можна інтегрувати, якщо справедлива рівність

(2.11)

Аналогічно, послідовність можна інтегрувати на відрізку , якщо

. (2.13)

Теорема 2. 12. (про інтегрування функціональних рядів). Якщо ряд , що складається з неперервних на відрізку функцій , рівномірно збігається на цьому відрізку, то його на цьому відрізку можна інтегрувати.

Доведення. Нехай виконуються умови теореми. Тоді з рівномірної збіжності ряду й вищенаведеної теореми випливає, що сума є неперервною функцією на відрізку , а тому інтегрувальною на цьому відрізку, тому ліва частина рівності (4) має сенс.

Покажемо, що має місце рівність (2.11). й , проінтегрував цю рівність, одержимо:

. (2.13)

З того, що ряд рівномірно збігається на , маємо, що його остача при рівномірно на цьому відрізку прагне до 0, тобто

(2.14)

З умов (2.13) і (2.14) тепер одержимо:

(при ).

Тобто ми встановили, що .

Останнє означає, що часткові суми k-того порядку ряду із правої частини (2.11) при прагнуть до лівої частини (2.11), тобто ряд правої частини (2.11) збігається, і його сумою є ліва частина (2.11).

Теорема 2. 13. (про інтегрування функціональної послідовності). Якщо послідовність , що складається з неперервних на відрізку функцій, рівномірно збігається на цьому відрізку, то її на цьому відрізку можна інтегрувати.

Доводиться аналогічно.

Означення 2. 14. Говорять, що ряд на відрізку можна диференціювати, якщо

. (2.14)

Теорема 2. 15. (про диференціювання функціональних рядів). Якщо ряд , що складається з неперервно диференційованих на відрізку функцій , збігається в кожній точці цього відрізка, а ряд, що складається з похідних його членів, рівномірно збігається на цьому відрізку, то даний ряд можна диференціювати на відрізку .

Дата добавления: 2015-07-18