Степеневі ряди.

Означення 2. 16. Степеневим рядом називається функціональний ряд виду

(2.15),

де й усі - задані числа, - змінна.

Якщо , то статечної ряд має вигляд

. (2.16)

Зауваження. Зробивши в ряді виду (2.15) заміну змінної , одержимо ряд виду (2.16), тому всі твердження щодо статечних рядів будемо приводити для рядів виду (2.16). Для рядів виду (2.15) вони будуть одержувати природні зміни.

На відміну від довільного функціонального ряду степеневий ряд завжди має не порожню область збіжності. Дійсно, він завжди збігається при .

Лема Абеля. Якщо степеневий ряд виду (2) збігається в деякій точці , то він збігається, і при чому абсолютно, і в будь-якій точці , такій, що .

Доведення. Нехай степеневий ряд збігається в точці , тобто збігається ряд . Тоді за необхідною ознакою збіжності загальний член останнього ряду прагне до 0 при . Таким чином виходить, що послідовність , як збіжна, є обмеженою, тобто

. (2.17)

Нехай тепер число таке, що , тоді

(2.18)

і .

Відповідно до умов (2.17)і (2.18) всі члени ряду, що знаходяться в правій частині останньої рівності, не перебільшують членів ряду , який є збіжним геометричним рядом (). Отже, за першою ознакою порівняння додатних рядів ряд, з того ряд, який знаходиться в правій частині останньої рівності, збігається, випливає, що збігається ряд, що знаходиться в лівій частині останньої рівності. Тобто, степеневий ряд збігається абсолютно.

Зауваження. З Леми Абеля випливає, що якщо статечної ряд виду (2.16) збігається в точці , то він збігається, і при чому абсолютно, у всіх точках інтервалу .

Теорема 2. 17. (про радіус збіжності). Нехай даний статечної ряд виду ( 2.16 ). Тоді або:

1) ряд збігається тільки в точці 0;

2) ряд збігається на всій числовій прямій і при чому абсолютно;

3) існує число , таке, що степеневийї ряд збігається у всіх точках інтервалу й розбігається при .

Доказ проводиться за допомогою леми Абеля.

Зауваження. Зазначене в теоремі число називається радіусом збіжності степеневого ряду, а інтервал - інтервалом збіжності. У першому пункті теореми вважають, що , у другому - і інтервал збіжності .

Зауваження. Інтервал збіжності степеневого ряду не слід плутати з його областю збіжності, тому що степеневий ряд може збігатися на кінцях (одному або двох) інтервалу збіжності, тобто область збіжності може відрізнятися від інтервалу збіжності не більше ніж на дві точки.

Можна показати, що радіус збіжності знаходиться за формулою .

Наведена теорема для статечного ряду виду (1) дає інтервал збіжності у вигляді , симетричний відносно .

Теорема 2. 18. (про рівномірну збіжність степеневого ряду). Нехай даний степеневийї ряд з додатним радіусом збіжності ( може рівнятися ). Тоді на будь-якому відрізку степеневий ряд збігається рівномірно й абсолютно.

Доведення. Нехай , тоді , що . З того, що точка належить інтервалу збіжності, слідує, що за попередньою теоремою в ній ряд збігається й при чому абсолютно, тобто збігається додатний ряд

. (2.19)

Оскільки , зі збіжності ряду (5) і ознаки Вейерштрасса тепер одержимо, що на наш ряд збігається рівномірно й абсолютно.

Теорема 2. 19. (про неперервність суми степеневого ряду). Нехай даний степеневий ряд з додатним радіусом збіжності. Тоді його сума неперервна у всіх точкаїх інтервалу збіжності.

Доведення. Візьмемо яку-небудь точку . Тоді, очевидно, знайдеться відрізок , що містить точку .

Відповідно до попередньої теореми степеневий ряд на відрізку рівномірно збігається, і всі його члени є неперервними функціями на цьому відрізку, отже, за теоремою про неперервність суми функціонального ряду сума нашого степеневого ряду неперервна на відрізку , зокрема, у точці .

Теорема 2. 20. (про інтегрування степеневих рядів). Степеневийї ряд з додатним радіусом збіжності можна інтегрувати на будь-якому відрізку, що міститься в інтервалі збіжності.

Доведення. З того, що на будь-якому відрізку, вкладеному в інтервал збіжності, степеневийї ряд збігається рівномірно, слідує, що за теоремою про інтегрування функціональних рядів його на цьому відрізку можна інтегрувати.

Зауваження. Якщо в якості зазначеного в теоремі відрізка вибрати який-небудь відрізок , то на ньому степеневий ряд збігається рівномірно. Проінтегрувавши ряд на цьому відрізку, одержимо:

(2.20)

З (2.20) видно, що проінтегрований ряд також є степеневим рядом, а права частина (6) називається проінтегрованим степеневим рядом.

Оскільки ряд (2.20) збігається в кожній точці інтервалу збіжності данного степеневого ряду, те з цього випливає, що інтервал збіжності проінтегрованого ряду не тількі інтервал , тобто радіус збіжності проінтегрованого ряду .

Теорема 2. 21. (про диференціювання статечних рядів). Стаепеневий ряд можна диференціювати в будь-якій внутрішній точці його області збіжності.

Зауваження. З того, що

(2.21),

тобто продиференційований степеневий ряд (права частина (8)) також є степеневим рядом, що збігається на інтервалі , випливає, що радіус збіжності продиференційованого ряду

Таким чином, при інтегруванні й при диференціюванні степеневогоо ряду його радіус збіжності не зменшується.

Але якщо тепер праву частину (2.21), що має радіус збіжності , проінтегрувати на будь-якому відрізку , то одержимо ряд , що є остачею ряду , що має, мабуть, радіус збіжності .

Тобто, , отже, згідно (9), .

З іншого боку, якщо проінтегрований ряд (2.20) продиференціювати, то його радіус при цьому не зміниться згідно тільки що отриманій рівності, тобто , тому що при цьому одержимо ряд , що має радіус збіжності .

Таким чином, остаточно одержимо наступну теорему.

Теорема 2. 22. (про рівність радіусів збіжності). При диференціюванні й інтегруванні степеневих рядів радіус збіжності не змінюється.

Зауваження. З теореми про рівність радіусів збіжності випливає, що в інтервалі збіжності степеневий ряд можна скільки завгодно раз диференціювати без зміни радіуса збіжності, тобто сума степеневого ряду всередині інтервалу збіжності - нескінченно диференційована функція, тобто вона має похідну будь-якого порядку.

Зауваження. Всі доведені теореми поширюються на степеневий ряд , що має інтервал збіжності , симетричний відносно .

Дата добавления: 2015-07-18