Степеневі ряди

Це ряди виду , де , - деякі числа. Для скорочення викладок позначимо та будемо вивчати ряд . Вивчати – це означає встановлення області збіжності та властивостей суми ряду. Зробимо таким чином (хоча можна і по іншому).

Теорема Абеля. Якщо степеневий ряд збігається в точці , то він збігається і, притому абсолютно, для всіх .

Доведення (схематичне)

– число. Тепер

і вступає в дію ознака зрівняння 1 нашого ряду із збіжним при геометричним рядом.

Зауваження. Область збіжності степеневого ряду це інтервал симетричний відносно точки О. половину інтервалу називають радіусом збіжності – d wsp:val="00FB1E0B"/></wsp:rsids></w:docPr><w:body><w:p wsp:rsidR="00000000" wsp:rsidRDefault="00153703"><m:oMathPara><m:oMath><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:fareast="Times New Roman" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/><w:lang w:val="UK"/></w:rPr><m:t>R</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> . В практичному плані радіус можна знайти використовуючи ознаку Даламбера або Коші. По області збіжності потрібне деяке уточнення, яке проводиться кожен раз окремо. Наведемо кілька корисних прикладів.

Приклади: Знайти радіус збіжності рядів.

1)

Розв’язок - ряд з модулів. Ознака Даламбера:

. Отже - область збіжності, - радіус збіжності.

Зауваження * буде

(необхідна умова збіжності).

2)

- ряд модулів. Ознака Коші:

Область збіжності (-1;1). Радіус збіжності .

Окремо треба перевіряти збіжність на кінцях інтервалу. Можливі різні варіанти. Так у нашому прикладі:

– збігається

– збігається (Лейбніц)

Тобто уточнена область збіжності .

Для ряду аналогічно отримаємо , але при маємо гармонічний ряд - розбігається, а при ряд збігається (по Лейбніцу) і область збіжності буде .

Перейдемо до вивчення суми степеневого ряду.

Дата добавления: 2015-07-17