Рівномірно збіжні ряди

Нехай - часткова сума, - залишок ряду.

Визначення. Якщо для будь-якого малого числа , можна визначити номер такий що нерівність має місце при для всіх з деякої області збіжності, то ряд називається рівномірно збіжним у цій області.

Геометрична ілюстрація

Графік кожної часткової

суми при для

всіх повністю належить

- смузі функції .

Приклади рівномірно та нерівномірно збіжних рядів:

1) - геометричний ряд, збігається в області y m:val="p"/></m:rPr><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:fareast="Times New Roman" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/></w:rPr><m:t>)</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> . Чи рівномірно? Маємо

Якщо довільно зафіксувати то ясно . Це доводить що здійснити для всіх нерівність неможливо. Ряд у нашому проміжку збігається нерівномірно;

2)

- область збіжності ряду (ознака Лейббніца). Очевидно (зауваження до ознаки Лейббніца) і далі оцінка не залежить від , тому зрозуміло що ряд на всій вісі збігається рівномірно.

Ознака рівномірної збіжності ряду. Якщо ряд складений із доданків даного ряду мажорується в деякій області збіжним числовим рядом, то в цій області він збігається рівномірно.

Доведення:

- збіжний ряд, тобто для d wsp:val="00FB1E0B"/></wsp:rsids></w:docPr><w:body><w:p wsp:rsidR="00000000" wsp:rsidRDefault="0096508A"><m:oMathPara><m:oMath><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:fareast="Times New Roman" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/></w:rPr><m:t>в€Ђ</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> можна вказати номер починаючи з якого залишок ряду . Тепер маємо

Нерівність виконується для всіх . Ряд збігається рівномірно. Час перейти до властивостей суми ряду.

Дата добавления: 2015-07-17