Ознаки зрівняння.

Мова йде про ряд з додатніми членами . Дослідження збіжності таких рядів значно полегшується тим що послідовність часткових сум зростаюча і для існування у неї кінцевої границі (тобто збіжності ряда) достатньо, згідно з відомою теоремою Вейерштраса, лише довести її обмеженість. В основі ознак лежить принцип зрівняння «складного» ряду з більш «простим». Ознаки, як побачимо, є також фундаментом для виведення багатьох інших ознак. І така технологія буде проілюстрована на ознаках Даламбера та Коші.

Ознака зрівняння 1. Нехай є два ряди та , причому . Тоді, якщо збігається ряд (2), то збігається і ряд (1), або – що теж саме якщо розбігається ряд (1) то розбігається і ряд (2).

Доведення: позначимо та чпсткові суми рядів (1) та (2). Нехай . Очевидно зростаюча послідовність, . Згідно умови ознаки маємо і отже . Таким чином, як зауважено вище, доведена збіжність ряду (1).

Зауваження. Ряд (2) – мажоранта, (1) – міноранта.

Ознаку 1 зручно використовувати в іншій формі.

Ознака зрівняння 2 (гранична форма). Нехай є два ряди та , причому існує кінцева границя . Тоді обидва ряди або збігаються, або розбігаються одночасно.

Проілюструємо ці два варіанта ознаки на прикладах:

1) , - число

Часткову суму запишемо таким чином:

Проведемо оцінку

…………………………

Отже наш ряд має мажоранту (геометричний ряд)

Де , який збігається. В силу ознаки 1 збігається і наш ряд.

2) – гармонійний ряд.

Відомо, - розбігається.

Обчислимо

Тому гармонійний ряд за ознакою 2 теж розбігається.

Зауваження. Збираючи попередні приклади маємо загальний висновок:

Історична довідка (стосовно терміну «гармонійний ряд»). У школі Піфагора полюбляли пропорції: Так там уперше з’явились терміни середнього арифметичного та середнього геометричного. Числа a, b, c, d з властивістю , там називали гармонійними. Якщо a = c, то a називали середньо гармонійним b і d. А чому б не гармонія? Якщо взяти до уваги формулу лінзи , де - фокусна відстань, та – відстані точки та зображення. Так от, у гармонійному ряді кожен доданок є середньо гармонійним сусідніх. Назва, як бачимо, виправдана.

На кінець приведемо ще одну ознаку.

Ознака зрівняння 3. Нехай є два ряди (1) та (2), причому . Тоді із збіжності ряду (2) випливає збіжність ряду (1), або – що те саме – із розбіжності ряду (1) випливає розбіжність ряду (2).

Доведення. Розпишемо:

Перемножим нерівності – отримаємо: . Після цього наш висновок випливає з ознаки зрівняння 1.

Вже згадувалось, що ознаки зрівняння є фундаментом багатьох інших ознак. Проілюструємо це на найбільш поширених ознаках Коші та Даламбера.

Дата добавления: 2015-07-17