Знакозмінний ряд

Нехай ряд загального вигляду. Розглянемо ряд із модулів доданків цього ряду – .

Ознака абсолютної збіжності. Якщо збігається ряд (2), то збігається і ряд (1), який при цьому називають абсолютно збіжним.

Доведення. Розглянемо допоміжний ряд . Цілком очевидно . Ряд за умовою ознаки збіжний.

З ознаки зрівняння (1) випливає збіжність допоміжного ряду і в кінцевому

Приклад:

Це ряд загального типу. Оскільки , то ряд модулів мажорується збіжним рядом тобто збігається сам.

Висновок: данний ряд абсолютно збіжний.

Зауваження. Можливий варіант коли ряд з модулів розбігається, а сам ряд збігається як на прикладі

В цьому випадку ряд називають умовно збіжним. Може і сам ряд і ряд з модулів розбігається. Тобто з розбіжності ряду модулів робити конкретні висновки по даному ряду неможливо. Однак, звернемо увагу: якщо розбіжність ряду з модулів встановлена за ознакою Коші або Даламбера можна впевнено казати що і даний ряд розбігається (див. зауваження до цих ознак). Цим висновок ми не раз будемо користуватися.

Наостанок відмітимо, що абсолютно та умовно збіжні ряди мають багато цікавих властивостей на одну з яких звернемо увагу.

Теорема Рімана. Яке б число ми не взяли, можна так перегрупувати доданки умовно збіжного ряду, що його сума буде дорівнювати цьому числу.

До речі, якщо ряд абсолютно збіжний, то перегруповувати можна як завгодно і сума залишиться такою ж.

Дата добавления: 2015-07-17