Свойства абсолютно сходящихся рядов таковы.

1. Абсолютно сходящийся ряд сходится, т. е. из сходимости ряда следует сходимость ряда .

1. Если ряды и абсолютно сходятся, то при любых и ряд также абсолютно сходится.

2. Если ряд абсолютно сходится, то ряд, составленный из тех же членов, но взятых в другом порядке, также абсолютно сходится, и его сумма равна сумме исходного ряда.

4. Правило Коши. Если ряды и абсолютно сходятся, то

,

где .

Ряд также абсолютно сходится, а его сумма равна , где и – суммы рядов и .

Если ряд сходится, а ряд расходится, то такой ряд называется условно сходящимся.

Если один из рядов или сходится условно, а второй – абсолютно, то для их произведения справедливо правило Коши.

Теорема Римана. Если ряд сходится условно, то каким бы ни было число , можно так переставить члены ряда, что сумма полученного ряда будет равна .

Признак сходимости Лейбница. Пусть для ряда выполнены условия:

1. ; 2. .

Тогда этот ряд сходится и его сумма удовлетворяет неравенству .

Для остатка альтернирующего ряда справедливо неравенство . Таким образом, модуль остатка не превосходит модуля первого из отбрасываемых членов.

Признак Абеля. Если ряд сходится, а числа образуют монотонную и ограниченную последовательность, то ряд сходится.

Признак Дирихле. Если частичные суммы ряда ограничены в совокупности (т. е. ), а последовательность монотонно стремится к нулю, то ряд сходится.

Следствие признака Дирихле. Если последовательность моно-

тонно стремится к нулю, то ряд сходится при любом , а ряд

сходится при .

Пример 1.6. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Это знакочередующийся ряд. Проверим выполнение условий признака Лейбница.

1. Рассмотрим функцию . Тогда , , если . Значит, при функция монотонно убывает.

2. .

Ряд сходится.

Пример 1.7. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды:

а) ; б) ; в) .

Решение. а) Используя неравенства , , получаем . Из сходимости ряда по признаку сравнения следует сходимость ряда , т. е. абсолютная сходимость ряда .

б) Используя неравенства , , получаем . Из сходимости ряда по признаку сравнения следует сходимость ряда , т. е. абсолютная сходимость ряда .

в)Используя неравенство , получаем . Ряд расходится, т.к. и ряд расходится, а ряд сходится. Проверим условную сходимость. Последовательность монотонно стремится к нулю; следовательно, ряд сходится. Ряд сходится условно.

Доказать, что ряды абсолютно сходятся:

1.91. .	1.92. .
1.93. .	1.94. .

Исследовать на сходимость ряды:

1.95. .	1.96. .
1.97. .	1.98. .

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды:

1.99. .	1.100. .
1.101. .

Исследовать на сходимость ряды:

1.102. .	1.103. .
1.104. .

Найти все значения , при которых ряд: а) абсолютно сходится; б)условно сходится:

1.105. .	1.106. .
1.107. .	1.108. .
1.109. .	1.110. .
1.111. .	1.112. .
1.113. .
1.114. .

Найти все значения и , при которых ряд: а) абсолютно сходится; б) условно сходится:

1.115. .
1.116. .
1.117. .

1.118. Пользуясь одним из равенств

,

,

где , доказать, что .

Пользуясь тем, что , найти суммы следующих рядов, полученных из данного перестановкой его членов:

1.119. .
1.120. .
1.121. .

1.122. Пусть ряд сходится и . Следует ли отсюда, что ряд также сходится?

Ответы: 1.95. Сходится. 1.96. Сходится. 1.97. Сходится. 1.98. Сходится. 1.99. Сходится условно. 1.100. Сходится абсолютно. 1.101. Сходится условно. 1.102. Сходится. 1.103. Расходится. 1.104. Расходится. 1.105. а) ; б) . 1.106. а) ; б) . 1.107. а) ; б) . 1.108. а) ; б) . 1.109. а) ; б) . 1.110. а) ; б) любое. 1.111. а) , ; б) , . 1.112. а) , ; б) , . 1.113. а) ; б) . 1.114. а) ; б) . 1.115. а) ; б) . 1.116. а) , ; б) . 1.117. а) , ; б) . 1.119. . 1.120. . 1.121. 0. 1.122. Нет. Пример: , .

Дата добавления: 2015-07-17