Если для знакоположительных рядов и существует отличный от нуля конечный предел , то ряды сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. Пусть ряд (2) сходится; докажем, что тогда сходится и ряд (1). Выберем какое-нибудь число , большее, чем . Из условия вытекает существование такого номера , что для всех справедливо неравенство ,или, что то же,

(4)

Отбросив в рядах (1) и (2) первые членов (что не влияет на сходимость), можно считать, что неравенство (4) справедливо для всех Но ряд с общим членом сходится в силу сходимости ряда (2). Согласно первому признаку сравнения, из неравенства (4) следует сходимость ряда (1).

Пусть теперь сходится ряд (1); докажем сходимость ряда (2). Для этого следует просто поменять ролями заданные ряды. Так как

то, по доказанному выше, из сходимости ряда (1) должна следовать сходимость ряда (2). ¨

Если при (необходимый признак сходимости), то из условия , следует, что и – бесконечно малые одного порядка малости (эквивалентные при ). Следовательно, если дан ряд , где при , то для этого ряда можно брать ряд-эталон , где общий член имеет тот же порядок малости, что и общий член данного ряда.

При выборе ряда-эталона можно пользоваться следующей таблицей эквивалентных бесконечно малых при :

1) ; 4) ;

2) ; 5) ;

3) ; 6) .

Пример 8. Исследовать на сходимость ряд

.

Решение

Данный ряд знакоположительный, так как для любого .

Так как , то возьмем в качестве ряда-эталона гармонический расходящийся ряд . Поскольку предел отношения общих членов и конечен и отличен от нуля (он равен 1), то на основании второго признака сравнения данный ряд расходится.

Пример 9. Исследовать на сходимость ряд по двум признакам сравнения.

Решение

Данный ряд знакоположительный, так как , и . Поскольку , то в качестве ряда-эталона можно брать гармонический ряд . Этот ряд расходится и следовательно, по первому признаку сравнения, исследуемый ряд также расходится.

Так как для данного ряда и ряда-эталона выполняется условие (здесь использован 1-й замечательный предел), то на основании второго признака сравнения ряд – расходится.

ТЕОРЕМА 5 (Признак Даламбера)

Дата добавления: 2015-07-18