Интервал и радиус сходимости степенного ряда

Теорема Абеля утверждает, что если х₀ – точка сходимости степенного ряда, то во всех точках, расположенных на интервале (рис 9.2а), этот сходится абсолютно, а если х₁ – точка расходимости ряда, то во всех точках, расположенных вне интервала (рис.9.2б), ряд расходится.

Рис. 9.2.

Интервал называют интервалом сходимости степенного ряда. Положив , интервал сходимости можно записать в виде (-R, R). Число R называют радиусом сходимости степенного ряда, т.е. R > 0 – такое число, что при всех |х| < R, ряд (9.3) абсолютно сходится, а при |х| > R расходится. Отметим, что интервал сходимости для некоторых рядов охватывает всю числовую прямую (в этом случае ), у других вырождается в одну точку (). Таким образом, всякий степенной ряд имеет свой радиус сходимости R. При х = ± R ряд может либо сходиться, либо расходиться. Этот вопрос решается в каждом конкретном случае.

Можно показать, что из признака сходимости Даламбера радиус сходимости степенного ряда может быть определён соотношением .

Пример 1. Найти область сходимости ряда

Решение. Находим радиус сходимости

.

Следовательно, данный ряд сходится при любом значении х. Общий член этого ряда стремится к нулю.

Пример 2. Найти область сходимости ряда

Решение. Находим радиус сходимости .

Следовательно, ряд сходится при -2 < x + 2 < 2, т.е. при - 4 < х < 0. При х = -4 имеем ряд , который по признаку Лейбница сходится. При х = 0 имеем расходящийся ряд .

Следовательно, областью сходимости исходного ряда является - 4 ≤ х < 0.

Пример 3. Ряд расходится на всей числовой прямой, кроме точки х = 0, так как радиус сходимости .

Дата добавления: 2015-07-17