Функциональные ряды

Пусть на множестве Х определена последовательность функций . Рассмотрим функциональную последовательность {S_n},где S₁ = f₁ , a при n ≥2 S_n = f₁+ f₂ + …+ f_n. Если Х₀ – множество сходимости последовательности {S_n}, а S - ее предельная функция, то будем говорить, что функциональный ряд

f₁ (х) + f₂ (х) + …+ f_n (х) + … = (х)

сходится на множестве Х₀, а функцию S назовем суммой этого ряда; при этом будем записывать: = S или . Члены последо- вательности называют членами ряда, а сумму S_n = - его n-ой частичной суммой. Отметим, что сумма ряда есть предельная функция после- довательности его частичных сумм: .

Пример 4. Пусть f_k (x) = x , x R. Рассмотрим ряд

Имеем:

S_n(х) =

Отсюда нетрудно увидеть, что при |x| < 1; если же |x| ≥ 1, то последовательность {S_n (х)} расходится. Следовательно, рассматриваемый ряд сходится на интервале Х₀ =(-1; 1), а его сумма есть S(х) .

Опираясь на известные свойства числовых рядов, нетрудно прийти к сле- дующим выводам.

1) Если ряд (х) сходится на некотором множестве Е,то , т.е. последовательность членов ряда сходится на Е, и ее предельная функция тождественно на Е равна нулю.

2) Если функциональный ряд (х) | сходится на некотором множест- ве Е,то и ряд (х) сходится на этом множестве.

Пусть ряд (х) | сходится на множестве Е. В этом случае будем говорить, что ряд (х) абсолютно сходится на Е.

Дата добавления: 2015-07-18