Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Признаки сходимости произвольных рядов

Читайте также:
  1. Ordm;. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.
  2. А рядовой Кагановский - по домашним булочкам.
  3. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов
  4. В.3 Понятие делового общения, признаки, цель, структура.
  5. В.Понятие и признаки фирменных наименований.
  6. Взаимодействие Электрических зарядов.
  7. Виды временных рядов

Здесь мы рассматриваем ряды, члены которых могут быть любыми вещественными или мнимыми числами. Начнем с частного, но весьма важного для приложений случая – с рядов, которые принято называть знакочередующимися.

Пусть { a k} – последовательность положительных чисел. Рассмотрим. ряд . Ряды такой структуры и называют знакочередующимися.

Теорема 7. (Признак Лейбница) Пусть последовательность { a k} строго убывает и стремится к нулю. Тогда ряд сходится; а его сумма S удовлетворяет неравенствам 0 < S ≤ a 1.

► Пусть n – некоторое четное число: n = 2l, l N. В сумме S2l сгруппируем слагаемые:

S2l = = (а1 –a2) + (a3 – a4) + … +(a2l-3 –a2l-2) + (a2l-1 –a2l)

Так как { a k} строго убывает,то разность в каждой из скобок положительна; значит, S2l > 0 и S2(l+1) > S2l, т.е. последовательность {S2l } - это строго возрастающая последовательность положительных чисел. Сгруппируем теперь слагаемые в сумме S2l иначе:

S2l = a1 (a2 –a3) – (a4 –a5) - … - (a2l-2 –a 2l-1) – a2l.

Отсюда ясно, что S2l < a1. Таким образом, строго возрастающая последова- тельность { S2l} ограничена сверху числом a1; значит, она сходится. Обозна- чим ее предел через S. Из свойств { S2l } следует: 0 < S ≤ a1

Покажем, что S есть сумма ряда , т.е., что S = lim Sn, где Sn = = . Пусть n – некоторое нечетное число: n = 2l –1, l N. Заметим: S2l-1 = = S2l - a2l → S, так как S2l → S, а a2l → 0. Таким образом, обе подпосле- довательности {S2l} частичных сумм с четными номерами и {S2l-1} частичных сумм с нечетными номерами сходятся к S; значит, вся последовательность {Sn} имеет тот же предел

Итак, ряд сходится, а его сумма S удовлетворяет неравенствам 0< S ≤ a 1. ◄

Пример 10. Рассмотрим ряд , где λ – некоторое вещественное число. Это знакочередующийся ряд; здесь ak = . Если λ ≤0, последователь- ность { a k}, очевидно, не стремится к нулю, и поэтому при таких λ ряд расхо- дится. При λ > 0 последовательность { a k} строго убывает и стремится к ну- лю; значит, по признаку Лейбница ряд сходится.

В следующей теореме члены ряда - любые числа, быть может, мнимые. Из их модулей составим новый ряд ; члены этого ряда неотрицательны.

Теорема 8. Если сходится ряд , то сходится и ряд .

► Зададим некоторое ε > 0. Так как сходится, в силу критерия Коши (свойство 1, 2˚) существует натуральное nε такое, что при всех n > nε и любых натуральных р справедливо . Ho при этих n и p , т.е., для ряда выполнены требования критерия Коши:

N N N (n > nε ),

поэтому ряд сходится. ◄

Пример 11. Рассмотрим ряд , где φ и λ – вещественные числа. Так как │exp(ikφ)│= 1, то . Отсюда ясно, что при λ ≤ 0 общий член рассматриваемого ряда не стремится к нулю, поэтому ряд расходится, а при λ > 1 ряд сходится (см. пример 6), значит, сходится и рассматриваемый ряд. Его поведение при будет выяснено ниже с помощью признака Дирихле.

Лемма Абеля. Пусть и - наборы комплексных чисел Обозначим: Vq= ; V = max { |V1|, |V2|, …, |Vp| }. Тогда:

2) если u1 ≥ u2 ≥ … ≥ up > 0, то .

► Заметим: V1 = v1, а при j = 2,3, …, p vj = Vj – Vj-1. Значит,

Раскрыв здесь скобки и приведя затем подобные, получим равенство 1).

Теорема 9. (Признак Дирихле) Пусть - монотонная невозрастающая последовательность положительных чисел, а - последовательность комплексных чисел. Обозначим: Вр = . Если 1) и 2) существует М > 0 такое, что М при всех р N, то ряд сходится.

► Покажем, что ряд удовлетворяет требованиям критерия Коши N N N (n > nε )

Зададим ε > 0. По условию 1) , значит, найдется натуральное n ε такое, что из k > n ε следует . Пусть n и р – натуральные числа, причем n > n ε. Имеем: , где u j = a n+j, v j = b n+j . Заметим: u1 ≥ u2 ≥ … ≥ up > 0. Обозначим: Vq = , V = max { |V1|, |V2|, …, |Vp| }. Так как Vq = = Bn+q – Bq, то при любом натуральном q имеем: | Vq | ≤ ≤ | Bn+q| + |Bq| ≤ 2M. Значит, V ≤ 2M. В силу утверждения 2) леммы Абеля , т.е. | | ≤ 2М a n+1. Отсюда и из неравенствa следует: | | < ε. Таким образом, для произвольно заданного ε>0 существует натуральное n ε, удовлетворяющее требованию критерия Коши; поэтому ряд сходится. ◄

Пример 12. Вернемся к рассмотрению ряда . Пусть 0 < λ ≤ 1. Ввиду 2π – периодичности exp(ikφ), достаточно рассматривать . Если φ = 0, ряд превращается в , который при 0 < λ ≤ 1 расходится (пример 6). Пусть φ . При всяком k N положим где q . Заметим: при 0 < λ ≤ 1 последовательность убывает и стремится к нулю; далее, при φ q отлично от единицы, поэтому Bp = , и, значит, |Bp| , где М от р не зависит. Таким образом, последовательности и удовлетворяют требованиям признака Дирихле, значит, ряд , т.е. при 0 < λ ≤ 1 и φ сходится.

Теорема 10. (Признак Абеля) Пусть - невозрастающая последова- тельность положительных чисел, а - последовательность комплексных чисел. Если сходится ряд , то сходится и ряд .

► Обозначим: . Заметим: {ck} – невозрастающая бесконечно малая последовательность положительных чисел; {Bp} – последовательность частичных сумм сходящегося ряда, значит, это сходя- щаяся и потому ограниченная последовательность. По признаку Дирихле ряд , т.е. сходится. Но , а это означает, что ряд является суммой двух сходящихся рядов и . Следовательно (свойство 5, 2˚), ряд сходится. ◄


Дата добавления: 2015-07-18; просмотров: 143 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Общие свойства числовых рядов | Степенные ряды. | Последовательности функций | Равномерно сходящиеся последовательности функций | Функциональные ряды | Равномерно сходящиеся функциональные ряды | Вещественные степенные ряды | Коэффициенты Тейлора. Ряд Тейлора. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Ordm;. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.| Абсолютно сходящиеся ряды

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)