Общие свойства числовых рядов

Числовые ряды.

Ordm;. Основные понятия.

Пусть {z _k} - некоторая последовательность чисел, вообще говоря, комп- лексных. Рассмотрим последовательность {S _n}, где S ₁ = z ₁ , а при любом натуральном n > 1 S _n = z ₁ + z ₂ + … + z _n . Последовательность {S _n} мо -жет оказаться либо сходящейся, либо расходящейся.

Пусть последовательность {S _n} сходится, а S есть ее предел: lim S _n = S. Будем говорить в этом случае, что числовой ряд

z ₁ + z ₂ + … + z _k + … (1)

сходится, а число S назовем суммой этого ряда. Члены последовательности {z _k} назовем членами ряда (1); S _n назовем его n – ой частичной суммой.

Замечание. Хотя число S и называют суммой, на самом деле оно не явля- ется суммой в привычном понимании этого термина, согласно которому сумма - это результат сложения некоторого конечного количества слагаемых. Суммой является. например, всякий член последовательности {S _n}, начиная с S ₂. Но сложить бесконечное множество членов ряда невозможно, и число S представляет собой результат другого математического действия – преде- льного перехода, примененного к последовательности сумм {S _n}.

Для обозначения ряда (1) мы обычно будем пользоваться символом , а также упрощенным символом . В этих символах z _k называют общим членом ряда. Если ряд сходится, а S является его суммой, т.е. если lim S_n = S, будем записывать: = S.

В случае, когда последовательность {S _n} расходится, будем говорить, что ряд (1) расходится; суммы такой ряд не имеет. Однако, если S _n → + ∞ или S _n → - ∞, принято говорить. что сумма расходящегося ряда (1) равна + ∞ или - ∞ соответственно.

Пример 1. Пусть q – некоторое комплексное число; положим при вском натуральном k z _k = q и рассмотрим ряд = 1 + q + q +…+ q +... (его члены образуют геометрическую прогрессию). Имеем: S _n = 1 + q + q + … + q = . Если |q| < 1, то → 0 и, значит, S _n ; если же |q | > 1, то q → ∞ и, следовательно, S _n . Итак, при |q| < 1 рассматриваемый

ряд сходится, его сумма равна ; при |q | > 1 ряд расходится.

Пример 2. Рассмотрим ряд . Здесь z _k = , S_n = = = ln2 + (ln3 – ln2) + (ln4 – ln3) + … + (ln n – ln(n-1)) + + (ln(n+1) – ln n) = ln (n+1). Очевидно, S _n→ +∞. Значит, ряд расходится, его сумма равна + ∞.

Пример 3. Пусть z _k =(-1) , S _n = 1 – 1 + … …+ (-1) . При четных n эта сумма равна нулю, а при нечетных – единице; значит, последовательность {S _n} частичных сумм ряда не имеет предела, ни конечного, ни бесконечного. Ряд расходится.

Общие свойства числовых рядов

1. (Критерий сходимости Коши) Для того, чтобы числовой ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы для всякого положительного ε можно было указать натуральное n _ε такое,что при всех натуральных n > n _ε и любых натуральных р справедливо неравенство .

► Сходимость числового ряда означает сходимость последовательности {S _n} его частичных сумм. Напомним формулировку критерия Коши сходимости последовательности: для того, чтобы последовательность {S _n} сходилась, необходимо и достаточно, чтобы

.

Не ограничивая общности можно считать, что m > n, т.е. что m = n + p, где р - некоторое натуральное число. Если n > n _ε, то подавно n + p > n _ε , поэтому написанную выше строчку можно заменить следующей, ей равно- сильной:

.

Заметим: ; Таким образом, из критерия Коши для последовательности {S _n} вытекает: ряд сходится тогда и только тогда, когда

,

что и требовалось доказать. ◄

Приведем пример применения критерия Коши.

Пример 4, Ряд называют гармоническим рядом. Покажем, что это расходящийся ряд. Пусть n - некоторое натуральное число; а p = n +2. Рассмотрим В этой сумме n +2 слагаемых, причем - наименьшее из них; поэтому Здесь n - любое натуральное число. Зададим ε, удовлетворяющее неравенствам 0 < ε < ½. Тогда при всяком натуральном n и p = n +2 будет выполнено , а это означает, что для такого ε нельзя указать n _ε, которое удовлетвори- ло бы требованию критерия сходимости Коши. Значит, ряд расходится. ◄

2. (Необходимое условие сходимости) Если ряд .сходится, то его общий член стремится к нулю: z _k → 0_.

► Пусть S _n = . Обозначим сумму ряда через S: S _n → S. При всяком n ≥2, очевидно, z _n = S _n - S _{n -1}. Перейдем в этом равенстве к пределу; так как последовательности имеют один и тот же предел S, получим: z _n → 0. ◄

Замечание. Обратное утверждение (если z _k → 0, то сходится) неверно. Действительно, для гармонического ряда имеем z _k → 0, однако ряд расходится. Можно указать еще и на ряд , рассмотренный выше (см. пример 2): его общий член,очевидно, стремится к нулю, но ряд расходится.

3. (Достаточное условие расходимости) Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится.

► Действительно, если общий член ряда не стремится к нулю, ряд не может оказаться сходящимся, так как общий член сходящегося ряда обязательно стремится к нулю. ◄

Пример 5. Выше (см. пример 1) мы показали, что ряд сходится, если |q| < 1 и расходится, если |q| > 1. Рассмотрим случай |q| = 1. Имеем: при всяком натуральном k, поэтому последовательность заведомо не стремится к нулю; значит. при любом комплексном q, |q| = 1, рассматриваемый ряд расходится.

4. (Умножение числа на ряд) Пусть заданы ряд и некоторое отличное от нуля число λ, вообще говоря, комплексное. Произведением числа λ на ряд называют ряд , где w_k = λz_k. Справаедливы утверждения: 1) ряды и либо оба сходятся, либо оба расходятся; 2) если = S, то = λ S.

► Пусть n - некоторое натуральное число. Обозначим: . Очевидно, .Отсюда и из теоремы об арифметических действиях со сходящимися последовательностями ([3], п. 3.5) вытекает: 1) последовательности частичных сумм либо обе сходятся, либо обе расходятся; 2) если ◄

5. (Сложение рядав) Ряд называют суммой рядов и . Справедливы утверждения: 1) пусть ряды сходятся, причем ; тогда сходится и , причем = ; 2) если один из рядов сходится, а другой расходится, то ряд расходится.

► Обозначим: Очевидно, . Из теоремы об арифметических действиях со сходящимися последовательностями следует: 1) если последовательности частичных сумм сходятся, то сходится и их сумма - последовательность , причем S_n → →S’+S”; 2) если одна из последовательностей сходится, а другая расходится, то не может быть сходящейся последовательностью, значит, ряд расходится. ◄

Замечание. Если оба ряда расходятся, то их сумма, т.е. ряд может оказаться как сходящимся, так и расходящимся рядом. На- пример, положим Тогда ряды расходятся (см. пример 4), а ряд сходится, так как каждый его член равен нулю.

6. Пусть задан ряд , а m - некоторое натуральное число. Ряд , где w_l = = z_m+l , т.е. ряд z_m+1+z_m+2+ …+ z_m+l + … = , называют остатком ряда . Справедливо утверждение: ряд и его остаток либо оба сходятся, либо оба расходятся.

► Очевидно, при любом натуральном p т.е. где А = = . Ввиду такой связи между последовательностями частичных сумм очевидно, что если сходится одна из них, то сходится и другая; если одна из них расходится, то другая не может быть сходящейся. ◄

7. Пусть и - последовательности вещественных чисел. Обозначим: z_{k =} x_k + i y_k, S_n= . Если ряды , сходятся, то их суммы обозначаем через S, и соответственно. Справедливы утверждения: 1 ) ряд сходится тогда и только тогда, когда сходятся оба ряда ; 2 ) если сходится, то S = + i .

► Заметим: S_n = S + i S . Утверждения 1 ) и 2 ) вытекают непосредственно из свойств последовательностей комплексных чисел. ◄

Дата добавления: 2015-07-18