Степенные ряды.

Пусть задана последовательность комплексных чисел и комплексное число а. Степенным рядом называют ряд следующей структуры:

, (7)

где z - любое комплексное число. Члены последовательности называют коэффициентами этого ряда. Подставляя в (7) различные значения z, мы будем получать различные числовые ряды. Каждый такой ряд может оказаться сходящимся или расходящимся.Совокупность К тех z, при которых ряд (7) сходится, называют множеством сходимости этого ряда. Заметим, что z = = а всегда принадлежит К: при z = а все члены ряда, кроме, может быть,с₀ , равны нулю; следовательно, ряд сходится, а его сумма равна с₀.

Пример 16. Рассмотрим ряд

Здесь При z = -i ряд сходится. Пусть z ≠ -i; исследуем с помощью признака Даламбера сходимость ряда . Полагая a _k = = будем иметь: . Согласно признаку Даламбера ряд сходится при всяком z ≠ -i; значит, при тех же z ряд абсолютно сходится. Итак, сходится при всяком комплексном z; множество сходимости К этого ряда есть вся комплексная плоскость С.

Пример 17. Рассмотрим ряд , где а – некоторое комплексное число. При z = а ряд сходится. Пусть z ≠ а. Заметим, что в этом случае, оче- видно, k·|z- a | стремится к +∞, поэтому и Отсю- да ясно, что при z ≠ а общий член рассматриваемого ряда не может стремить- ся к нулю, следовательно ряд расходится. Таким образом, множество сходи- мости К этого ряда содержит только одну точку а.

Пример 18. Рассмотрим ряд = 1 + . Все коэффициен- ты с_k этого ряда равны 1, а = 0. Из примеров 1 и 5 следует, что этот ряд сходится, если |z| < 1, и расходится, если |z| ≥ 1. Следовательно, множество сходимости К представляет собой круг радиуса 1 с центром в точке а = 0.

Bыясним структуру множества К в общем случае и укажем способы его отыскания.

Теорема 13. (Теорема Абеля) 1) Пусть ряд (7) сходится при z = z′, где z′ - некоторое комплексное число, отличное от а; тогда он абсолютно сходится при всяком z, удовлетворяющем неравенству |z- a | < | z′- a |.

2) Пусть ряд (7) расходится при z = z″, где z″ ≠ а; тогда ряд расходится при всяком z, удовлетворяющем неравенству |z- a | > | z″- a |.

► 1) Так как сходится, то последовательность является бесконечно малой (свойство 2), 2˚). Значит, она ограничена: существует М > 0 такое, что при всех целых k ≥ 0 . Пусть z удовлетворяет неравенству |z- a | < | z′- a |. Тогда , где . Ряд сходится (пример 1, 1˚), следовательно, по первому признаку сравнения сходится ряд , т.е. абсолютно сходится.

2) Допустим противное: нашлось z₀ , | z₀- a | > | z″- a |, такое, что при z = z₀ ряд (7) сходится. Тогда по доказанному в 1) ряд сходится при всех z, удов -летворяющих неравенству |z- a | < | z₀ - a |. Число z″ этому неравенству удов- летворяет, значит, ряд сходится при z = z″. Возникшее противоречие с усло- вием теоремы доказывает утверждение 2). ◄

Теорема 14. (О существовании круга сходимости) Пусть задан степенной ряд (7). Тогда либо 1) ряд сходится при всех комплексных z, либо 2) ряд сходится только при z = а, либо 3) существует положительное R такое, что ряд абсолютно сходится при всяком z, удовлетворяющем неравенству |z- a |<R, и расходится при всяком z, удовлетворяющем неравенству |z- a |> R.

► Рассмотренные выше примеры 16 и 17 свидетельствуют о том, что су- ществуют ряды, для которых справедливы утверждения 1) или 2). Допустим, что для заданного ряда (7) ни один из этих двух случаев места не имеет. Тогда, очевидно, должны существовать отличные от а числа z′ и z″ такие, что при z = z′ ряд сходится, а при z = z″ он расходится. В силу утверждения 2) теоремы Абеля ряд расходится при всяком z, таком, что |z- a | > | z″- a |; следовательно, для всякого z, принадежежащего множеству сходимости К рассматриваемого ряда, должно быть выполнено |z- a |≤ |z″- a |. Обозначим: R = . Так как z′ K, a z″ K, то, ясно, что |z′ – a| ≤ R ≤ |z″- a |, т.е. R – это некоторое положительное число. Ясно также, что, ряд расходится при всяком z таком, что |z- a | > R. Пусть ζ удовлетворяет неравенству |ζ- a | < R. Так как R есть точная верхняя грань величины |z- a | по множеству К, в К найдется число z₀ такое, что |ζ - a | < |z₀ - a | ≤ R. Ряд сходится при z = z₀, значит, по теореме Абеля он абсолютно сходится при z = ζ. Но ζ – любое число, удовлетворяющее неравенству |ζ- a | < R. Таким обрзом, ряд абсолют- но сходится при всяком z, |z- a | < R, и теорема доказана полностью. ◄

Геометрически утверждение 3) доказанной теоремы означает,что если множество сходимости ряда отлично от всей комплексной плоскости и не сводится только к точке а, то существует положительное число R такое, что ряд (7) абсолютно сходится при всяком z, лежащем внутри окружности радиуса R с центром в точке а и расходится при каждом z вне этой окружности. Круг, ограниченный указанной окружностью называют кругом сходимости ряда (7). Что касается точек самой этой окружности, то в них различные степенные ряды ведут себя по-разному: одни ряды сходятся в каждой ее точке, другие (например, ряд примера 18) расходятся во всех ее точках, наконец, может быть и так, что на этой окружности имеются и точки, в которых ряд сходится, и точки, в которых ряд расходится. Таким образом, в случае 3) множество сходимости К представляет собой круг сходимости, дополненный, быть может, всеми точками ограничивающей его окружности или частью ее точек.

Число R называют радиусом сходимости ряда (5). Это понятие распростра- няют и на случаи 1) и 2), полагая в случае 1) R равным +∞, а в случае 2) рав- ным нулю. Ясно, что для отыскания множества сходимости ряда важно знать его радиус сходимости.

Теорема 15. (О вычислении радиуса сходимости) Пусть задан ряд (7) и пусть или , где r либо неотрицательное число, либо символ +∞. Обозначим радиус сходимости ряда через R.Тогда: 1) если 0< r < < +∞, то R = ; 2) если r = 0, то R = +∞; 3) если r = +∞, то R = 0.

► Рассмотрим случай . Воспользуемся признаком Даламбера. Положив a _k = , будем иметь:

1) Пусть 0 < r < +∞. По признаку Даламбера, если q < 1, где q = , то ряд сходится. Значит, этот ряд сходится при тех z, при которых |z- a | r < 1, т.е. |z- a | < . Если же q > 1, т.е. |z- a | > , то ряд расходится, так как его общий член не стремится к нулю (см. доказательство признака Даламбера). Переходя теперь к ряду , заключаем, что этот ряд абсолютно сходится, если |z- a | < , и расходится, так как его общий член не стремится к нулю, если |z- a | > . Значит, число есть радиус сходимости R ряда .

2) Пусть r = 0. Тогда введенное выше q равно нулю при любом z. Следо- вательно, сходится при всех z С, а потому ряд сходится абсолютно при всех z С.

3) Пусть r = +∞. Тогда введенное выше q равно +∞ при любом z, отлич- ном от а; поэтому при z ≠ а общий член ряда не стремится к ну- лю (см. доказательство признака Даламбера). Отсюда ясно, что и общий член ряда не стремится к нулю при указанных z; следовательно, этот ряд расходится при всяком z, отличном от а.

В случае доказательство аналогично с той лишь разницей,что оно опирается на радикальный признак Коши. ◄

Пример 19. Рассмотрим степенной ряд , где λ - вещественное число. Найдем его радиус сходимости R. Имеем: r = . Значит, R = 1, и круг сходимости этого ряда – это единичный круг |z| < 1. Выясним поведение ряда в точках единичной окружности |z| = 1, т.е. при z = exp (iφ), 0≤ φ < 2π. Подставив такое z, получим ряд 1+ , рассмот- ренный выше в примерах 11,12 и 14. Основываясь на этих результатах, зак- лючаем: при λ ≤0 ряд расходится во всех точках единичной окружности, при λ > 1 он абсолютно сходится во всех ее точках, если же 0 < λ ≤1, то ряд расходится в точке z =1 (φ = 0) и условно сходится в осталь- ныхъ точках единичной окружности (0< φ < 2π).

Дата добавления: 2015-07-18