Последовательности функций

Пусть Х – некоторое множество вещественных чисел, и пусть каждая из функций f₁, f₂, …, f_k, … определена на этом множестве. Будем говорить, что на множестве Х определена последовательность функций (или функцио -нальная последовательность) или .

Пусть . Рассмотрим последовательность { f_k (х₀) значений функций в точке x₀. Это числовая последовательность. Если она сходится, то говорят, что функциональная последовательность { f_k }сходится в точке x₀, а x₀ назы- вают точкой сходимости этой функциональной последовательности. Сово -купность Х₀ всех точек сходимости называют множеством сходимости функ- циональной последовательности { f_k }.

Пусть Х₀ есть множество сходимости функциональной последовательности { f_k }. Определим на Х₀ функцию f₀ , положив для каждого х, принадлежащего этому множеству, значение f₀ (x) равным пределу числовой последовательности { f _k(x)}: . Эту функцию называют предельной функ- цией функциональной последовательности { f_k }. Говорят также, что функцио- нальная последовательность { f_k } сходится на множестве Х₀ к функции f₀ , и записывают: .

Пример 1. Рассмотрим последовательность , где при любом вещественном х . Таким образом, последовательность = , , … определена на всем множестве R. Предел равен нулю при

-1< x < 1 и единице при х = 1; он не существует при х = -1 и равен бесконечности, если |x| >1. Значит, множеством сходимости этой последовательности является промежуток (-1; 1]; значения ее предельной функции f₀ равны нулю для всех х на интервале (-1;1), а f₀ (1) = 1.

Пример 2. Рассмотрим последовательность , где при любом вещественном х . При любом х

Следовательно, множеством сходимости этой последовательности будет вся числовая ось, а ее предельная функция есть .

Дата добавления: 2015-07-18