Сходящиеся последовательности и их свойства. Бесконечно малые последовательности.

Последовательность {X_n} – это функция, определенная на множестве Ӏ натуральных чисел и принимающую значения из некоторого множества А.

Последовательности значения Х_n которых – вещественные числа называют числовыми.

Последовательность {X_n} называется сходящейся, если существует такое число Х, что для любого ɛ>0 найдется такой номер N=N(ɛ), что при всех n>N имеет место неравенство:

|X_n - X| < ɛ

Число Х – предел последовательности {X_n}. Последовательность {X_n} сходится к числу Х.

Сходимость последовательности {X_n} к Х записывается: =X или X_n→X.

Если последовательность {X_n} – не сходится, то она расходится.

x- ɛ <x_n<x + ɛ - (x-ɛ; x + ɛ - ɛ-окрестность точки х)

Теорема: Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел

Доказательство: Предположим противное, тогда последовательность {X_n} – имеет 2 предела – Х и Х^| (Х <> Х^|). По определению предела, для любого ɛ>0, существуют такие номера N(ɛ) и N^|(ɛ), что |X_n - X| < ɛ, при n>N(ɛ) и |X_n – X^/|<ɛ при n>N^|(ɛ). Выберем ɛ=|X^| - X|/2,

тогда при n>max {N(ɛ), N^|(ɛ)}, одновременно имеют место равенства: |X_n - X| < |X^| - X|/2 и

|X_n – X^||<|X^| - X|/2→|X^| - X|=|X^| - X_n + X_n - X|<=|X^| - X_n|+|X_n - X|<|X^| - X|

Получим противоречие: |X^| - X|<|X^| - X| т.д.

Последовательность {X_n} ограниченная, если существует такое число М>0, что любое n |X_n|<=M в противном случае – неограниченная.

Теорема: Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство: Пусть {X_n} – сходящаяся последовательность ах – ее предел. Выберем

ɛ>0 произвольно. В силу определения предела: существует номер N, что для любого

n>N имеет место неравенство |X_n – X|<ɛ,→ что при n>N |X_n|<=|X| + |X_n - X|<|X|+ɛ.

Предположим М = max {|X|+ɛ₁,|X₂|,…,|X_N|}.

Очевидно, что при всех n |X|<=M. Таким образом, последовательность {X_n} – ограничена.

Замечание: Из ограниченности последовательности сходимость не вытекает.

Дата добавления: 2015-07-16