Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Сходящиеся последовательности и их свойства. Бесконечно малые последовательности.

Читайте также:
  1. XI. ПРИСПОСОБЛЕНИЕ И ДРУГИЕ ЭЛЕМЕНТЫ, СВОЙСТВА. СПОСОБНОСТИ И ДАРОВАНИЯ АРТИСТА
  2. Абсолютно сходящиеся ряды
  3. Автомобильные топлива. Назначение, виды, свойства.
  4. Адреса в виде символьной последовательности
  5. Блок-схема последовательности действий при приеме документов
  6. Гипербола. Определение. Каноническое уравнение. Свойства.
  7. Глава 2. Намерение бесконечности

Последовательность {Xn} – это функция, определенная на множестве Ӏ натуральных чисел и принимающую значения из некоторого множества А.

Последовательности значения Хn которых – вещественные числа называют числовыми.

Последовательность {Xn} называется сходящейся, если существует такое число Х, что для любого ɛ>0 найдется такой номер N=N(ɛ), что при всех n>N имеет место неравенство:

|Xn - X| < ɛ

Число Х – предел последовательности {Xn}. Последовательность {Xn} сходится к числу Х.

Сходимость последовательности {Xn} к Х записывается: =X или Xn→X.

Если последовательность {Xn} – не сходится, то она расходится.

x- ɛ <xn<x + ɛ - (x-ɛ; x + ɛ - ɛ-окрестность точки х)

Теорема: Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел

Доказательство: Предположим противное, тогда последовательность {Xn} – имеет 2 предела – Х и Х| (Х <> Х|). По определению предела, для любого ɛ>0, существуют такие номера N(ɛ) и N|(ɛ), что |Xn - X| < ɛ, при n>N(ɛ) и |Xn – X/|<ɛ при n>N|(ɛ). Выберем ɛ=|X| - X|/2,

тогда при n>max {N(ɛ), N|(ɛ)}, одновременно имеют место равенства: |Xn - X| < |X| - X|/2 и

|Xn – X||<|X| - X|/2→|X| - X|=|X| - Xn + Xn - X|<=|X| - Xn|+|Xn - X|<|X| - X|

Получим противоречие: |X| - X|<|X| - X| т.д.

Последовательность {Xn} ограниченная, если существует такое число М>0, что любое n |Xn|<=M в противном случае – неограниченная.

Теорема: Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство: Пусть {Xn} – сходящаяся последовательность ах – ее предел. Выберем

ɛ>0 произвольно. В силу определения предела: существует номер N, что для любого

n>N имеет место неравенство |Xn – X|<ɛ,→ что при n>N |Xn|<=|X| + |Xn - X|<|X|+ɛ.

Предположим М = max {|X|+ɛ1,|X2|,…,|XN|}.

Очевидно, что при всех n |X|<=M. Таким образом, последовательность {Xn} – ограничена.

Замечание: Из ограниченности последовательности сходимость не вытекает.


Дата добавления: 2015-07-16; просмотров: 86 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Числовые функции и их графики. Преобразование графиков. Графики основных элементарных функций. | Монотонные и ограниченные последовательности. Примеры. Число е. | Подпоследовательности. Лемма о вложенных отрезках. Теорема Больцано-Вейерштраса. Частичные пределы. | Определение предела функции. Критерий Коши. | Теорема 4.1. Определения 1 и 2 эквивалентны. | Основные теоремы о пределах. | Замечательные пределы. | Первый замечательный предел | Зрения предельного перехода. | Непрерывные функции. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
ТЕОРЕМА 2.| Свойства сходящейся последовательности

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.005 сек.)