Теорема 4.1. Определения 1 и 2 эквивалентны.

Доказательство. Эквивалентность двух утверждений А и В означает следующее: если верно утверждение А, то верно и утверждение В, и, наоборот, если верно утверждение В, то и верно утверждение А.

Пусть число b является пределом функции f(x) при xàа в смысле определения 1. Тогда для любого ε>0 найдётся такое δ=(ε) >0, что для всех хϵХ удовлетворяющих условию (1),выполнено неравенство (2). Пусть () любая числовая последовательность, сходящаяся к а. Из определения предела последовательности следует, что для найдётся такой номер N, что при всех n>N будут иметь место неравенства . Но тогда в силу условий (2), для последовательности {f()}, будут выполняться неравенства при всех n>N т.е. . Таким образом число b является пределом функции f(x) при xàa и в смысле определения 2.

Пусть теперь число b является пределом функции y= f (x) при хàа в смысле определения 2. Покажем, что число b будет пределом функции y= f (x) и в смысле определения 1.

Будем рассуждать от противного. Предположим, что b не является пределом функции y= f (x) при хàа в смысле определения 1. Это значит, что существует такое ε>0, что для любого δ>0 найдётся такое ,удовлетворяющее неравенству (1), что

Выберем последовательность , сходящуюся к нулю. Для каждого найдётся такое ,что

(3)

и тем не менее

(4)

Гл.4.Предел функции. Непрерывные функции.

Из неравенства (2) следует, что (т.к. ), а из (4) следует, что последовательность не сходится к числу b. Это противоречит тому, что число b является пределом функции y= f (x) при аàх в смысле определения 2.Теорема доказана.

Теорема 4.2. Если функция f (x) имеет предел f(x)=b, то этот предел единственный.

Доказательство. Рассуждаем от противного, пусть у функции y= f (x) существует два различных примера b и (b≠ ). Пусть . Последовательность сходящаяся к а. В силу определения 2 соответствующая последовательность значений функции должна с одной стороны сходиться к b, а с другой- к , что невозможно, поскольку числовая последовательность может иметь только один предел. Теорема доказана.

Теорема 2.3.(Критерий Коши) Для того, чтобы существовал предел функции y= f (x)) при аàх необходимо и достаточно, чтобы для любого ε>0 нашлось такое δ=δ(ε)>0, что при любых х, х'ϵХ удовлетворяющих условиям , , выполнялось неравенство .

Доказательство. Пусть существует предел f(x)=b. Тогда, согласно определению 1, по произвольно заданному ε>0 найдётся такое δ=δ(ε)>0, что при любых х, х'ϵХ удовлетворяющих условиям , ,выполняются неравенства и . Из последних неравенств следует, что

Необходимость доказана.

Докажем точность. Пусть по произвольно заданному ε>0 найдётся такое δ=δ(ε)>0, что при любых х, х'ϵХ удовлетворяющих условиям

, (5)

имеет место неравенство

.(6)

Пусть - произвольная последовательность, сходящаяся к а. Покажем, что - фундаментальная последовательность. Действительно, так как , то существует такой номер N, что при всех n>Nвыполняются неравенства

(7).

Дата добавления: 2015-07-16