Основные теоремы о пределах.

Теорема 4.4.

Пусть f(x) и g(x) – функции с общей областью определения Х, и пусть существуют пределы , . Тогда существуют пределы (при ) функций , , (в последнем случае предполагалось, что при и ); при этом имеют место равенства:

а) ,

б) ,

в) .

Доказательство.

Пусть {x_n} (x_n a) – произвольная последовательность, сходящаяся к а. В силу определения 2 предела функции соответствующие последовательности {f(x_n)}, {g(x_n)} сходятся соответственно к b и c. В силу теоремы 3.3 последовательности { }, { }, сходятся соответственно к числам b c, bc, b/c. Эти числа в силу определения 2 являются пределами функций при x . Теорема доказана.

Пример 1. Покажем,что . В самом деле, по произвольно заданному >0 выберем , тогда при |x – a|< выполняется неравенство |x – a|< .

2. Покажем, что

В силу формулы б) теоремы 4.4 имеем

3. Вычислим , где P_n(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+...+a_n, Q_m(x)=b₀x^m+b₁x^m-1+…+b_m и Q_m(a)не= 0.

В силу формулы а),б) и в) теоремы 4.4 имеем

Теорема 4.5.(Теорема сравнения .) Пусть f(x), g(x), h(x) – функции с общей областью определения X. Тогда:

а)если при и существуют пределы то ;

б)если при и существуют пределы ,причем то существует предел при этом Доказательство этой теоремы следует из определения 2 предела функции и теоремы сравнения 3.4 для числовых последовательностей.

3.Правый и левый предел функций. Пусть функция y=f(x) определена при х₀<x<a(a<x<x₀).

Определение. Число bназываем правым (левым) пределом функции f(x) при xàx₀, если для любого E>0 найдется такое что при всех удовлетворяющих условиям выполнено неравенство

Для правого (левого) предела употребляются следующие обозначения:

Пример. Функция определена при Очевидно,

Теорема 4.6. Функция f(x), определенная на открытом промежутке Р), имеет предел тогда и только тогда, когда существуют правый и левый пределы и эти пределы совпадают.

Доказательство. Если функция f(x) имеет предел то согласно определению 1 это же число будет как правым,так и левым пределом функции f(x) при x--> x_{0 .}

Пусть теперь существуют равные друг другу правый и левый пределы,общее значение которых обозначим b. Согласно определению правого и левого пределов по заданному найдутся такие и что при или при выполняется неравенство Выбирая получим, что при имеет место неравенство Это означает, что Теорема доказана.

Дата добавления: 2015-07-16