Непрерывные функции.

Это определение можно следующим образом переформулировать на “языке e - d”.

Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀ Î X, если для любого e > 0 найдётся такое d = d (e) > 0, что для всех x Î X, удовлетворяющих условию

|x- x₀|<d(e), (2)

выполняется неравенство

|f(x) – f(x₀)|< e. (3)

В самом деле, если x₀ – предельная точка множества X, то условия (2), (3) повторяют определение предела функции. Если же x₀ – изолированная точка, то при достаточно малом d = d (e) единственным элементом множества X, удовлетворяющим условию (2), будет x₀, и в этом случае условие (3) выполняется.

Замечание. В отличие от определения предела функции f(x) в неравенстве (3) x может принимать значение, равное x₀.

Определение. Функция f(x) называется непрерывной на множестве X, если она непрерывна в каждой точке x ÎX.

Определение. Точка x₀ ÎX, в которой функция f(x) непрерывна, называется точкой непрерывности функции f(x). Точка x₀ ÎX, не являющаяся точкой непрерывности функции f(x), называется точкой разрыва функции f(x).

Если существует предел f(x) при x ® x₀ , но ,

то x₀ называют точкой устранимого разрыва функции f(x).

y

xbfgdfgd

X₀

f(x₀)

y =f(x)

Рис. 3.

Замечание. Если x₀ – точка устранимого разрыва функции f(x), то функция

g(x) =

будет непрерывной в точке x_0. Эта функция отличается от f(x) значением в единственной точке x₀ (Рис. 3.).

Пример. Пусть

f(x) =

Очевидно, Точка 0 – точка устранимого разрыва.

Пусть функция f(x) непрерывна на открытом промежутке P. Пусть x₀ P.

y

f(x₀)

f(x₀+0)

f(x₀-0)

x₀

x

Рис. 4.

Определение. Если существуют пределы и

, причём f (x₀ +0) f(x₀-0), то точка x₀ называется точкой разрыва первого рода. (рис. 4.)

Если не существует хотя бы один из пределов , , то точка x₀ называется точкой разрыва второго рода.

Если существует предел , , и f (x₀+0) = f(x₀), f(x₀-0)=f(x₀), то говорят, что функция f(x) непрерывна справа (слева).

Примеры. 1. Пусть

f(x) = sgn x =

Очевидно, = 1, = -1, f (0) – 0. Точка 0 – точка разрыва функции sgn x первого рода.

2. Пусть

f(x) =

Предел не существует, так как при x_n = , f(x_n) 0, а при x_n = , f(x_n) 1. Очевидно =0. Таким образом, функция f(x) непрерывна слева в точке 0 и имеет в этой точке разрыв второго рода.

Дата добавления: 2015-07-16