Подпоследовательности. Лемма о вложенных отрезках. Теорема Больцано-Вейерштраса. Частичные пределы.

Определение. Пусть - числовая последовательность, k₁<k₂<..<k_n<.. – возрастающая последовательность натуральных чисел. Последовательность = = называется подпоследовательностью последовательности . Если последовательность сходится, то ее предел называется частичным пределом последовательности .

Теорема 1. Если последовательность сходится, то любая ее подпоследовательность также сходится и имеет тот же самый предел, что и у .

Доказательство. Пусть x_n x и - произвольное положительное число, тогда существует такой номер N, что < при n>N. Очевидно, k_n n и,следовательно, <६ при x.Теорема доказана.

Теорема 2. (Лемма о вложенных отрезках.) Пусть – последовательность вложенных отрезков, т.е. a_n+1 a_n, b_n+1 b_n, a_n<b_n или при n=1,2,... Тогда существует по меньшей мере одна точка, принадлежащая всем отрезкам одновременно.

Доказательство. В силу условий теоремы последовательность левых концов отрезков не убывает, а последовательность правых концов отрезков не возрастает. Последовательности и ограничены, так как a₁ a_n<b_n b₁ при n=1,2,... Существуют пределы , ,причем a . Очевидно, что a при n=1,2,... Таким образом, точки a и b (которые могут совпадать) принадлежат всем отрезкам . Теорема доказана. Сходящая последовательность ограничена. Из ограниченности последовательность не вытекает.

Теорема 3. (Больцано-Вейерштраса.) Из всякой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Поскольку последовательность ограничена, существует такое M>0, что M при n=1,2,.., т.е. все члены последовательности лежат на отрезке , который для удобства обозначим . Разделим отрезок на пополам. ПО крайней мере один из полученных отрезков содержит бесконечное число членов последовательности. Выбираем ту половину, которая содержит бесконечное число членов последовательности , и обозначим ее . Отрезок снова делим пополам и выбираем ту половину, которая содержит бесконечное число членов последовательности, обозначим ее и т.д. Получим последовательность вложенных отрезков , причем длина отрезка есть:

b_n-a_n= (n=1,2,..).

В силу теоремы 2 существует точка c, принадлежащая всем отрезкам одновременно: a_n c b_n(1).

Построим подпоследовательность , сходящуюся к c. В качестве берем любой элемент последовательности , лежащий на отрезке , у которого k₂>k₁. (Поскольку на отрезке лежит бесконечное число членов последовательности, такой выбор всегда возможен.) В качестве выбираем элемент последовательности , лежащий на отрезке , у которого k_n>k_n-1, и т.д. Таким образом, a_n b_n(2).

Покажем, что подпоследовательность . В самом деле, их неравенств (1) и (2) следует,что

0 b_n-a_n=

Переходя в последнем неравенстве к пределу, получим, что . Теорема доказана.

Пусть – ограниченная последовательность: M (n=1,2,..). Обозначим А множество частичных пределов последовательности .

В силу теоремы 2 множество А непусто. Очевидно, множество А ограниченно, так как если подпоследовательность (с ), то из неравенства M следует, что

Поскольку множество А ограничено, то существуют точная верхняя и нижняя грани этого множества =supA, x=infA.

Теорема 4. Числа =supA, x=infA являются частичными пределами последовательности , т.е. , x

Доказательство. Докажем, что Пусть задано , тогда в интервале ( - + содержиться бесконечное число членов последовательности . В самом деле, так как =supA, то существует такое A, что - , откуда следует, что ( - + . Выберем окрестность ( - + точки так, чтобы ( - + ( - + По определению множества А существует подпоследовательность Начиная с некоторого номера, все члены последовательности лежат в интервале ( - + , а следовательно, и в интервале ( - + Таким образом, в интервале ( - + содержится бесконечное число членов последовательности .

Выбрав =1/n (n=1,2,..), получим, что каждый из интервалов ( - + содержится бесконечное число членов последовательности .

Построим подпоследовательность , сходящуюся к . Для этого в качестве выбираем элемент последовательности, содержащийся в интервале ( - + (n=1). В качестве выбираем элемент последовательности, содержащийся в интервале ( - + (n=2), у которого k₂>k₁ и т.д. В результате получим подпоследовательность , для которой имеют место быть неравенства

- + .

Переходя в этих неравенствах к пределу, получим, что Тем самым доказано, что Аналогично доказывается, что, x Теорема доказана.

Определение. Числа =supA, x=infA называются соответственно верхним и нижним пределами последовательности и обозначаются = , x=

Дата добавления: 2015-07-16