Первый замечательный предел

При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел

(1)

C

называемый первым замечательным пределом. Читается: предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю. Докажем равенство (1)

Возьмем круг радиуса 1, обозначим меру угла MOB через х. Пусть 0< x < . На рисунке AM= sinx, дуга MB численно равна центральному углу x, BC= tgx. Очевидно, имеем < < . На основании соответствующих формул геометрии получаем . Разделим неравенства на получим или . Так как и , то по признаку(о пределе промежуточной функции) существования пределов

(2)

Пусть теперь х<0. Имеем , где –х>0. Поэтому

(3)

Из равенств (2) и (3) вытекает равенство (1).

Примеры: 1) Найти

Имеем неопределенность вида . Теорема о пределе дроби неприменима. Обозначим 3х=t; тогда при поэтому

2) Найти .

Дата добавления: 2015-07-16