Замечательные пределы.

Пусть x→+∞. Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: n≤x<n+1, где n=[x] – это целая часть x. Отсюда следует , 1+ <1+ ≤1+ , поэтому < ≤

Если x→+∞, то n→∞. Поэтому, согласно (1), имеем:

,

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов

(3)

2. Пусть . Сделаем подстановку , тогда

(4)

Из равенств (3) и (4) вытекает равенство (2)

Если в равенстве (2) положить при , оно запишется в виде

(5)

Равенства (2) и (5) называются вторым замечательным пределом. Они широко используются для вычисления пределов. В приложениях анализа большую роль играет показательная функция с основанием e. Функция называется экспоненциальной, употребляется так же обозначение .

Пример: Найти .

Обозначим , очевидно, при Имеем

Теорема 2. (о пределе монотонной функции). Если функция монотонна и ограничена при или при , то существует, соответственно, ее левый предел или ее правый предел .

Доказательство этой теоремы не приводим.

Следствие 1. Ограниченная монотонная последовательность , n N имеет предел.

Дата добавления: 2015-07-16