Свойства функций непрерывных в точке

Теорема 4.7 Пусть f(x) и g(x)- функции с общей областью определения X, направленные в точке . Тогда в этой точке непрерывны следующие функции: f(x) g(x), f(x)g(x),
(в последнем случае предполагается, что g(x) при x ).
Доказательство этой теоремы следует из определения непрерывности функции и теоремы 4.4.
Определение. Функция f(x), определенная на множестве ,называется ограниченной сверху (снизу) на множестве , если множество ее значений =(y: y=f(x), x ) ограничено сверху (снизу).
Иначе говоря, f(x) ограничена сверху (снизу) на множестве , если существует такое число M(m), что f(x) M (f(x) m) для всех x .
Число M(m) называется верхней (нижней) гранью функции f(x) на множестве .
Если множество значений функции f(x) ограничено сверху (снизу), то по теореме 2.3 существует точная верхняя (нижняя) грань этого множества, которая обозначается () и называется точной верхней (нижней) гранью функции f(x) на множестве .
Теорема 4.8 (о локальной ограниченности непрерывной функции). Пусть функция f(x) определена в окрестности точки и непрерывна в точке , тогда существует окрестность |x - |< этой точки, в которой функция f(x) ограничена.
Доказательство. В силу определения непрерывности функции f(x) в точке для любого >0 найдется такое = ( )>0, что | f(x) - f() |< при | x - | < ( ). Фиксируя произвольное >0, получим, что f() - < f(x)< f() + при | x - | < , т.е. функция f(x) ограничена в окрестности | x - f(x) | < . Теорема доказана.
Теорма4.9 Пусть функция f(x) определена в окрестности точки и непрерывна в точке . Если при этом f() 0, то существует окрестность | x - | < этой точки, в которой f(x) сохраняет знак).
Доказательство. Пусть, например, f() >0. Из определения непрерывности функции f(x) в точке , для = f(), получим, что - f() < f(x) - f() < f(), т.е. f(x) >0 при | x - | < . Теорема доказана.
Определение. Пусть заданы две функции: t= f(x) и y= (t), причем множество значений функции f(x) содержится в области определения функции (t), тогда функция y= (f(x)), определенная на том же множестве , что и f(x), называется сложной функцией.
Теорема 4.10 (о непрерывности сложной функции). Пусть функция f(x) непрерывна в точке , а функция (t) непрерывна в точке = f(). Тогда сложная функция y= (f(x)) непрерывна в точке .
доказательство. В силу непрерывности функции (t) в точке = f(), для любого >0 найдется такое число >0, что при всех t ( из области определения функции (t)), удовлетворяющих равенству
| t - |< (4)

Выполняется равенство
| (t) - () |< (5)
Из непрерывности функции f(x) в точке , следует, что по найденному числу >0 можно выбрать такое число >0, что при всех x (на области определения функции f(x)), удовлетворяющих неравенству
| x - | < (6)
выполняется равенство
| f(x) - f() | < (7)
Полагая t= f(x), = f(), из неравенств (4), (5) в силу (6) и (7) получим, что при | x - | < < , имеет место неравенство | (f(x)) - (f()) |< , т.е. сложная функция y= (f(x)) непрерывна в точке . Теорема доказана.
Замечание. Пусть - предельная точка множества . В силу непрерывности сложной функции в точке имеет место равенство , которое можно переписать так:

(в силу непрерывности функции f(x) в точке : ). Таким образом, операция предельного перехода перестановочна с операцией действия непрерывной функции.

Дата добавления: 2015-07-16