Определение. Функция f(x) называется равномерно не­прерывной на множестве X

Функция f(x) называется равномерно не­прерывной на множестве X, если для любого е > 0 найдется та­кое δ = δ (e) >0, что для любых двух точек х, x’ ϵ X, удовлетво­ряющие условию

l х – x'l < δ (e), выполнено неравенство l f(x) - f(x') I < ε.

Очевидно, что функция f(x), равномерно непрерывная на мно­жестве X, будет непрерывной на этом множестве.

Чтобы понять различие между понятиями равномерной не­прерывности и просто непрерывности функции f(x) на множестве X, сформулируем, что означает непрерывность функции f(x) на множестве X: для любой точки х ϵ X и любого ε > 0 найдется та­кое число δ = δ( x, ε)> 0, что для всех х’ = X, удовлетворяющих условию δ lx – x’l < (х, ε), выполнено неравенство lf(x) — f(x')l < ε. Таким образом, число δ = δ( x, e)зависит не только от ε, но и от х. Если же функция f(x) равномерно непрерывна на множе­стве X, то число δ = δ( x, ε)может быть выбрано не зависящим от х.

Пример. Функция f(x) = 1/ x непрерывна на множестве X = (0, +∞). Покажем, что она yе будет равномерно непрерывной на этом множестве.

Предположим противное, тогда для любого ε > 0 найдется такое δ = б(ε) > 0, что при

х, х' > 0, lх — х'l < б (ε), (2)

будет выполняться неравенство

l f(x) - f(x') I = l - l= < ε (3)

Пусть 0 < х < б (ε) и 0 < х' < б (ε), тогда условия (2) удовлетворены и, следовательно, имеет место неравенство (3). Из неравенства (3) следует, что при фиксированном х' (0 < x' < б (ε)) функция g(х) = ограниче­на при 0 < х < б(ε),Однако-это не так, поскольку lim g (х ) = + ∞. Полученное противоречие доказывает, что функция f(x) = 1/x не является

^{x 0+0}

равномерно непрерывной на множестве X = (0, +∞).

Определение.

Колебанием ограниченной на множестве X функции f(x) называется число ω sup f(x) – inf f(x).

^{x x}

Из определения равномерной непрерывности следует, что для любого ε > 0 найдется такое

δ = δ(ε) > 0, что колебание функции f(x) на пересечении любого отрезка [c, d] c множеством X будет меньше ε, если d — с < δ (ε).

Дата добавления: 2015-07-16