Читайте также:
|
|
Функция называется монотонной (возрастающей или убывающей), если из следует
.
Теорема1. Если монотонно возрастающая функция для всех значений аргумента ограничена сверху (), то она имеет при
конечный предел.
Теорема 2. Монотонно возрастающая (убывающая) на функция
может иметь в
лишь разрывы первого рода, т.е. скачки.
Теорема 3. Если значения монотонно возрастающей (убывающей) в промежутке функции
содержатся в промежутке
и полностью заполняют его, то эта функция непрерывна в
.
Теорема 4. Пусть функция определена, монотонно возрастает (убывает) и непрерывна на
. Тогда в соответствующем промежутке
значений этой функции существует однозначная обратная функция
, также монотонно возрастающая (убывающая) и непрерывная.
ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
Скорость движения
Рассмотрим прямолинейное движение некоторого твердого тела. Расстояние S движущегося тела, отсчитываемое от некоторого начального его положения , будет зависеть от времени t, т.е. S будет функцией времени
t: S = f (t). Пусть в некоторый момент времени t движущееся тело находилось на расстоянии S от начального положения , а в следующий момент
тело оказалось в положении
- на расстоянии
от начального положения.
Таким образом, за промежуток времени t расстояние S изменилось на величину
S. Рассмотрим отношение
, которое даст нам среднюю скорость движения тела за время
t: VСР =
. (1)
Перейдем в равенстве (1) к пределу при . Этот предел и называют скоростью движения в данный момент, V =
. (2)
Перепишем равенство (2) в развернутом виде. Т.к. , то
V= . (3)
Это и будет скорость неравномерного движения. Из выражения (3) следует, что V не зависит от приращения времени , а зависит от значения t и функции
.
Пример. Найти скорость движения тела в произвольный момент t и в момент t=2 сек, если зависимость пути от времени выражается формулой S= .
Решение:
.
.
. Отсюда V =
.
При t = 2, V = =
=19,6 (м/c).
Производная функции
Рассмотрим функцию , определенную в некотором промежутке. Пусть аргумент
получил некоторое приращение
.Тогда функция
получит некоторое приращение
,которое будет равно
Составим отношение приращения функции к приращению аргумента
.
Найдем предел этого отношения при . Если этот предел существует, то его называют производной функции
и обозначают
:
.
Следовательно, производной данной функции по аргументу
называется предел отношения приращения функции
к приращению аргумента
, когда
.
В общем случае производная является функцией от .
Обозначения производной:
Конкретное значение производной при обозначается
или
.
Операция нахождения производной от функции называется дифференцированием этой функции.
Пример: Найти производную функции :
1) в произвольной точке ,
2) в точке .
,
.
Замечание: Из формулы (3) следует, что скорость тела в момент времени выражается формулой
т.е.
, т.е. скорость равна производной от пути по времени
.
Геометрическое значение производной
Пусть на плоской кривой С задана точка . Рассмотрим другую точку
этой кривой и проведем секущую
.
Если точка начинает перемещаться по кривой С, а точка
остается неподвижной, то секущая меняет свое положение. Допустим, что существует прямая
, проходящая через точку
, которая обладает следующим свойством: если точка
при перемещении ее по кривой С неограниченно приближается к точке
, то угол между прямой
и секущей
стремиться к нулю. Тогда эта прямая
называется касательной к кривой С в точке
.
Т.о., касательная есть прямая, занимающая предельное положение секущей.
Рассмотрим график непрерывной функции , имеющей в точке
с абсциссой
невертикальную касательную. Найдем ее угловой коэффициент
, где
- угол касательной с осью
.
Проведем через точки и
графика с абсциссой
секущую. Ее угловой коэффициент
, где:
- угол секущей с осью
. Т.к функция
непрерывная, то
при
, поэтому точка
, перемещаясь по графику, неограниченно приближается к точке
. При этом секущая неограниченно приближается к касательной, т.е.
и
Поэтому угловой коэффициент касательной
Т.о., угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой равен значению производной этой функции в точке
:
.
Дифференцируемость функций
Определение: Если функция имеет производную в точке
, т.е. если существует
, то говорят, что при данном значении
функция дифференцируема или имеет производную.
Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого интервала , то говорят, то она дифференцируема в интервале
.
Теорема: Если функция дифференцируема в некоторой точке
, то она в этой точке непрерывна.
Доказательство: Если , то
, где
при
.
Т.о., в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное заключение неверно, т.е. из того, что в какой-нибудь точке функция
непрерывна, не следует, что в этой точке она дифференцируема.
Пример: ,
.
При и
; при
имеем
, т.е. функция не дифференцируема в точке
Производные некоторых основных элементарных функций
1.Производная постоянной . Т.к. функция постоянна, то приращение
и
.
2.Производная степенной функции с натуральным показателем n.
По формуле бинома Ньютона
;
3.Производная показательной функции
.
.
Если ,то
.
4.Производная логарифмической функции
;
,
.
5.Производные функций
;
.
Аналогично .
Дата добавления: 2015-07-15; просмотров: 95 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Определения. | | | Производные высших порядков |