Определение.

Функция называется монотонной (возрастающей или убывающей), если из следует .

Теорема1. Если монотонно возрастающая функция для всех значений аргумента ограничена сверху (), то она имеет при конечный предел.

Теорема 2. Монотонно возрастающая (убывающая) на функция может иметь в лишь разрывы первого рода, т.е. скачки.

Теорема 3. Если значения монотонно возрастающей (убывающей) в промежутке функции содержатся в промежутке и полностью заполняют его, то эта функция непрерывна в .

Теорема 4. Пусть функция определена, монотонно возрастает (убывает) и непрерывна на . Тогда в соответствующем промежутке значений этой функции существует однозначная обратная функция , также монотонно возрастающая (убывающая) и непрерывная.

ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

Скорость движения

Рассмотрим прямолинейное движение некоторого твердого тела. Расстояние S движущегося тела, отсчитываемое от некоторого начального его положения , будет зависеть от времени t, т.е. S будет функцией времени
t: S = f (t). Пусть в некоторый момент времени t движущееся тело находилось на расстоянии S от начального положения , а в следующий момент тело оказалось в положении - на расстоянии от начального положения.

Таким образом, за промежуток времени t расстояние S изменилось на величину S. Рассмотрим отношение , которое даст нам среднюю скорость движения тела за время t: VСР = . (1)

Перейдем в равенстве (1) к пределу при . Этот предел и называют скоростью движения в данный момент, V = . (2)

Перепишем равенство (2) в развернутом виде. Т.к. , то

V= . (3)

Это и будет скорость неравномерного движения. Из выражения (3) следует, что V не зависит от приращения времени , а зависит от значения t и функции .

Пример. Найти скорость движения тела в произвольный момент t и в момент t=2 сек, если зависимость пути от времени выражается формулой S= .

Решение:

.

.

. Отсюда V = .

При t = 2, V = = =19,6 (м/c).

Производная функции

Рассмотрим функцию , определенную в некотором промежутке. Пусть аргумент получил некоторое приращение .Тогда функция получит некоторое приращение ,которое будет равно

Составим отношение приращения функции к приращению аргумента

.

Найдем предел этого отношения при . Если этот предел существует, то его называют производной функции и обозначают :

.

Следовательно, производной данной функции по аргументу называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда .

В общем случае производная является функцией от .

Обозначения производной:

Конкретное значение производной при обозначается или .

Операция нахождения производной от функции называется дифференцированием этой функции.

Пример: Найти производную функции :

1) в произвольной точке ,

2) в точке .

, .

Замечание: Из формулы (3) следует, что скорость тела в момент времени выражается формулой т.е. , т.е. скорость равна производной от пути по времени .

Геометрическое значение производной

Пусть на плоской кривой С задана точка . Рассмотрим другую точку этой кривой и проведем секущую .

Если точка начинает перемещаться по кривой С, а точка остается неподвижной, то секущая меняет свое положение. Допустим, что существует прямая , проходящая через точку , которая обладает следующим свойством: если точка при перемещении ее по кривой С неограниченно приближается к точке , то угол между прямой и секущей стремиться к нулю. Тогда эта прямая называется касательной к кривой С в точке .

Т.о., касательная есть прямая, занимающая предельное положение секущей.

Рассмотрим график непрерывной функции , имеющей в точке с абсциссой невертикальную касательную. Найдем ее угловой коэффициент , где - угол касательной с осью .

Проведем через точки и графика с абсциссой секущую. Ее угловой коэффициент , где: - угол секущей с осью . Т.к функция непрерывная, то при , поэтому точка , перемещаясь по графику, неограниченно приближается к точке . При этом секущая неограниченно приближается к касательной, т.е. и Поэтому угловой коэффициент касательной

Т.о., угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой равен значению производной этой функции в точке : .

Дифференцируемость функций

Определение: Если функция имеет производную в точке , т.е. если существует , то говорят, что при данном значении функция дифференцируема или имеет производную.

Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого интервала , то говорят, то она дифференцируема в интервале .

Теорема: Если функция дифференцируема в некоторой точке , то она в этой точке непрерывна.

Доказательство: Если , то , где при .

Т.о., в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное заключение неверно, т.е. из того, что в какой-нибудь точке функция непрерывна, не следует, что в этой точке она дифференцируема.

Пример: , .

При и ; при имеем , т.е. функция не дифференцируема в точке

Производные некоторых основных элементарных функций

1.Производная постоянной . Т.к. функция постоянна, то приращение

и .

2.Производная степенной функции с натуральным показателем n.

По формуле бинома Ньютона

;

3.Производная показательной функции

.

.

Если ,то .

4.Производная логарифмической функции

;

, .

5.Производные функций

;

.

Аналогично .

Дата добавления: 2015-07-15