Производные высших порядков

Пусть функция дифференцируема в некотором интервале . Тогда ее производная является функцией от . Пусть эта функция тоже имеет производную. Эта производная называется второй производной или производной второго порядка функции и обозначается .

При этом называется первой производной или производной первого порядка функции

Пример: .

Производная второй производной функции называется третьей производной, или производной третьего порядка данной функции, и обозначается: .

В общем случае производной n-го порядка функции называется первая производная производной (n-1)-го порядка данной функции и обозначается .

Производные порядка выше первого называются производными высшего порядка.

Пример: .

Выясним механический смысл второй производной. Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону , где – путь, проходимый за время . Тогда скорость этого движения есть некоторая функция времени . Отношение называется средним ускорением за промежуток времени .

Ускорением в момент называется предел среднего ускорения при

.

Т.о., ускорение прямолинейного движения точки есть производная скорости по времени. Т.к. скорость есть производная пути по времени : , то .

Т.е. ускорением прямолинейного движения точки равно второй производной пути по времени.

Дата добавления: 2015-07-15