Правило Лопиталя

Это правило используется для раскрытия неопределенностей вида и .

Теорема. Пусть и j(х) - функции, дифференцируемые в некотором полуинтервале , причем j(х)¹0, и пусть при обе эти функции стремятся к нулю или обе стремятся к бесконечности. Тогда, если отношение их производных имеет предел при , то этот же предел имеет и отношение самих функций: .

Доказательство. Ограничимся случаем

Доопределим функции и j(х) в точке а, полагая f(a)= j(a)=0.

Тогда эти функции станут непрерывными на отрезке и будут удовлетворять условиям теоремы Коши для любого отрезка , где . Поэтому

, где . При величина, с также стремится к а. Следовательно, .

Замечание. Теорема остаётся справедливой и в том случае, если и j(х) одновременно стремятся к 0 или при .

Примеры.

1) ;

2) .

Рассмотрим неопределенности следующих видов:

Дата добавления: 2015-07-15