Дифференциал функции

Рассмотрим функцию . Найдем ее приращение :

.

Следовательно, приращение функции можно рассматривать как сумму двух слагаемых: первого , линейного относительно , и второго , нелинейного относительно . При оба слагаемых являются бесконечно малыми, но второе слагаемое стремится к нулю быстрее:

.

Поэтому при малых приращениях функции можно считать приближенно равным его линейной части

Линейная часть приращения называется главной часть приращения функции. Пусть приращение функции в точке можно представить в виде:

(**)

где - приращение аргумента, А - постоянная величина, - бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем , т.е. .

Если приращение функции в точке может быть представлено по формуле (**), то главная часть приращения функции , пропорциональная приращению аргумента называется дифференциалом этой функции и обозначается .

Отбросив в формуле (**) второе слагаемое при малых , получим приближенное равенство .

Теорема. Если функция имеет в точке дифференциал, то она имеет в этой точке производную.

Доказательство.

. Т.к. , то производная существует и равна A.

Отсюда получаем выражение для дифференциала.

Теорема. Если функция имеет в точке производную, то она имеет в этой точке дифференциал.

Геометрический смысл дифференциала.

Проведем к графику функции в точке касательную и обозначим через ее угол с осью ox.

Рассмотрим ординату этой касательной для точки . Отрезок NP назовем приращением ординаты касательной. Из следует: .

Покажем, что этот отрезок равен дифференциалу .

Т.к. то .

Т.о., дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной.

Дата добавления: 2015-07-15